Докажите, что когда четыре слона внутри клетчатого прямоугольника таблицы умножения сделали одинаковый ход внутрь

Viktoriya

48

Чтобы доказать это утверждение, давайте рассмотрим таблицу умножения и проанализируем, как изменяются числа под слонами при каждом их шаге.

Пусть мы выберем произвольный клетчатый прямоугольник в таблице умножения размером MxN, где M - количество строк, а N - количество столбцов.

В самом начале, когда слоны только начинают движение, сумма чисел под ними будет равна нулю, так как они еще не сделали ни одного шага. Обозначим это значение суммы как S = 0.

При каждом шаге, слоны перемещаются на одну клетку вправо или на одну клетку вниз внутри прямоугольника. Заметим, что перемещение слона вправо добавляет к сумме чисел под ним значение, равное числу, на которое переходит слон, тогда как перемещение вниз не изменяет сумму чисел под слоном.

Таким образом, каждое перемещение слона вправо увеличивает сумму чисел под ним на значение в клетке, на которую слон перемещается. Если слон перемещается на клетку с числом a, то сумма чисел под слоном увеличивается на a.

Так как все четыре слона делают одинаковый ход, значит, они перемещаются на одинаковое количество клеток вправо и вниз. Пусть эти значения будут соответственно R (для движения вправо) и D (для движения вниз).

Теперь давайте рассмотрим сумму чисел под слонами после их перемещения. Обозначим эту сумму как S".

Как мы уже отметили, каждое перемещение слона вправо увеличивает сумму чисел под ним на значение клетки, на которую слон перемещается. Таким образом, после R перемещений вправо сумма чисел под слонами будет увеличена на R*a, где a - значение клетки, на которую перемещается слон.

Так как все слоны делают одинаковое количество перемещений вправо и вниз, мы можем сказать, что сумма чисел под слонами после их перемещения будет равна изначальной сумме, увеличенной на R*a.

То есть, S" = S + R*a.

Однако, мы также заметили, что перемещение слонов вниз не изменяет сумму чисел под ними. Поэтому, D перемещений вниз не влияют на значение суммы под слонами.

Таким образом, мы можем сказать, что сумма чисел под слонами остается неизменной после их перемещения, т.е. S" = S.

Таким образом, сравнивая два уравнения, мы получаем S + R*a = S.

Вычитая S из обеих частей уравнения, мы получаем R*a = 0.

Отсюда следует, что либо R = 0, либо a = 0.

Если R = 0, это означает, что слоны не перемещались вправо, что противоречит условию задачи, где говорится, что слоны сделали одинаковый ход внутрь прямоугольника.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что a = 0.

Из этого следует, что значение клетки, на которую перемещается слон, должно быть равно нулю для того, чтобы сумма чисел под слонами осталась неизменной.

Таким образом, мы доказали, что когда четыре слона внутри клетчатого прямоугольника таблицы умножения сделали одинаковый ход внутрь прямоугольника, сумма чисел под ними остается неизменной.

Надеюсь, это объяснение было понятным и полным. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!