Докажите, что когда у двух прямоугольных треугольников есть одинаковые катеты, то отношение синусов углов

Skazochnyy_Fakir

35

Для решения данной задачи, докажем каждое из утверждений по-отдельности.

1. Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника со сторонами a, b и c, d, где a и c - одинаковые катеты, а b и d - гипотенузы. Обозначим углы противолежащие катетам как \( \angle A \) и \( \angle C \), а углы противолежащие гипотенузам как \( \angle B \) и \( \angle D \).

2. Доказательство отношения синусов углов:
Из геометрии прямоугольных треугольников известно, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Таким образом, для первого треугольника, по определению синуса, мы имеем:
\[
\sin(\angle A) = \frac{a}{b}
\]
А для второго треугольника:
\[
\sin(\angle C) = \frac{c}{d}
\]

3. Докажем, что отношение синусов углов обратно отношению гипотенуз:
\[
\frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle C)} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}
\]
Так как a = c, то можно заменить в формуле a на c:
\[
\frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle C)} = \frac{c}{b} \cdot \frac{d}{c}
\]
Cокращая c, получим:
\[
\frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle C)} = \frac{d}{b}
\]

4. Доказательство отношения тангенсов углов:
Из геометрии прямоугольных треугольников известно, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Таким образом, для первого треугольника, по определению тангенса, мы имеем:
\[
\tan(\angle A) = \frac{a}{c}
\]
А для второго треугольника:
\[
\tan(\angle C) = \frac{c}{a}
\]

5. Докажем, что отношение тангенсов углов обратно отношению неравных катетов:
\[
\frac{\tan(\angle A)}{\tan(\angle C)} = \frac{a}{c} \cdot \frac{a}{c}
\]
Cокращая a и c, получим:
\[
\frac{\tan(\angle A)}{\tan(\angle C)} = \frac{a^2}{c^2}
\]

Таким образом, мы доказали, что когда у двух прямоугольных треугольников есть одинаковые катеты, то отношение синусов углов, противолежащих данным катетам, обратно отношению гипотенуз, и отношение тангенсов этих углов обратно отношению неравных катетов.