Докажите, что МN - касательная окружности O, проходящая через точку

Чайник

40

Чтобы доказать, что отрезок MN является касательной окружности O, проходящей через точку M, нам понадобится использовать свойства окружностей и касательных.

1. Построим окружность O с центром в точке O. Пусть точка M лежит на этой окружности.

2. Вспомним свойство касательной к окружности: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть, касательная MN будет перпендикулярна радиусу OM.

3. Рассмотрим треугольник OMN. Так как ОМ - радиус окружности O и МN - касательная, угол MNO будет прямым (90 градусов).

4. С учетом этого прямого угла, треугольник OMN становится прямоугольным, а значит, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны MN.

5. Пусть длина отрезка OM равна r (радиус окружности). Обозначим длину отрезка MN как a.

6. Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике OMN справедливо соотношение: \(a^2 = r^2 + ON^2\).

7. Однако, так как точка N лежит на окружности O, ее расстояние от центра окружности (ON) равно радиусу окружности (r).

8. Значит, \(ON^2 = r^2\).

9. Подставив это значение в уравнение из шага 6, получим \(a^2 = r^2 + r^2\), что равносильно \(a^2 = 2r^2\).

10. Возведя обе части уравнения в квадрат и упростив, получим \(a = \sqrt{2} \cdot r\).

11. Полученная длина a равна \(\sqrt{2}\) умножить на радиус окружности O.

Таким образом, мы доказали, что отрезок MN является касательной к окружности O, проходящей через точку M. Длина отрезка MN составляет \(\sqrt{2}\) умножить на радиус окружности O.