Как разложить вектор bk по векторам ba, bb1

Морской_Бриз

45

Хорошо, посмотрим, как можно разложить вектор \( \mathbf{b_k} \) по векторам \( \mathbf{b_a} \) и \( \mathbf{b_{b1}} \).

Чтобы разложить вектор \( \mathbf{b_k} \) по векторам \( \mathbf{b_a} \) и \( \mathbf{b_{b1}} \), мы можем использовать проекцию вектора \( \mathbf{b_k} \) на каждый из этих векторов.

Проекция вектора \( \mathbf{v} \) на вектор \( \mathbf{u} \) может быть найдена с помощью следующей формулы:

\[
\mathrm{proj}_\mathbf{u}(\mathbf{v}) = \left( \frac{{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}}{{\| \mathbf{u} \|^2}} \right) \mathbf{u}
\]

Где \( \cdot \) обозначает скалярное произведение, а \( \| \mathbf{u} \|^2 \) - квадрат длины вектора \( \mathbf{u} \).

Теперь применим эту формулу для нашей задачи:

1. Найдем проекцию вектора \( \mathbf{b_k} \) на вектор \( \mathbf{b_a} \):

\[
\mathrm{proj}_{\mathbf{b_a}}(\mathbf{b_k}) = \left( \frac{{\mathbf{b_k} \cdot \mathbf{b_a}}}{{\|\mathbf{b_a}\|^2}} \right) \mathbf{b_a}
\]

2. Затем найдем проекцию вектора \( \mathbf{b_k} \) на вектор \( \mathbf{b_{b1}} \):

\[
\mathrm{proj}_{\mathbf{b_{b1}}}(\mathbf{b_k}) = \left( \frac{{\mathbf{b_k} \cdot \mathbf{b_{b1}}}}{{\|\mathbf{b_{b1}}\|^2}} \right) \mathbf{b_{b1}}
\]

3. Используя полученные проекции, мы можем разложить вектор \( \mathbf{b_k} \) по векторам \( \mathbf{b_a} \) и \( \mathbf{b_{b1}} \) следующим образом:

\[
\mathbf{b_k} = \mathrm{proj}_{\mathbf{b_a}}(\mathbf{b_k}) + \mathrm{proj}_{\mathbf{b_{b1}}}(\mathbf{b_k})
\]

Теперь применим эти шаги для конкретных значений векторов \( \mathbf{b_a} \), \( \mathbf{b_{b1}} \) и \( \mathbf{b_k} \), чтобы получить конкретное решение.

Допустим, у нас есть векторы:

\( \mathbf{b_a} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} \)

\( \mathbf{b_{b1}} = \begin{bmatrix} b1_{1} \\ b1_{2} \\ \vdots \\ b1_{n} \end{bmatrix} \)

\( \mathbf{b_k} = \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \end{bmatrix} \)

Тогда мы можем вычислить проекции:

\[
\mathrm{proj}_{\mathbf{b_a}}(\mathbf{b_k}) = \left( \frac{{\mathbf{b_k} \cdot \mathbf{b_a}}}{{\|\mathbf{b_a}\|^2}} \right) \mathbf{b_a}
\]

\[
\mathrm{proj}_{\mathbf{b_{b1}}}(\mathbf{b_k}) = \left( \frac{{\mathbf{b_k} \cdot \mathbf{b_{b1}}}}}{{\|\mathbf{b_{b1}}}\|^2}} \right) \mathbf{b_{b1}}
\]

Наконец, подставим полученные значения проекций в формулу разложения:

\[
\mathbf{b_k} = \mathrm{proj}_{\mathbf{b_a}}(\mathbf{b_k}) + \mathrm{proj}_{\mathbf{b_{b1}}}(\mathbf{b_k})
\]

Данный подход позволяет разложить вектор \( \mathbf{b_k} \) по заданным векторам \( \mathbf{b_a} \) и \( \mathbf{b_{b1}} \). Надеюсь, это объяснение было понятным и полезным! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.