Докажите, что можно разделить в клетчатый квадрат на клетчатые уголки с нечетным количеством клеток без одной клетки

  • 66
Докажите, что можно разделить в клетчатый квадрат на клетчатые уголки с нечетным количеством клеток без одной клетки и определите количество разбиений для клетчатого квадрата 5×5 с вырезанной центральной клеткой.
Антоновна
10
Прежде чем начать доказательство, давайте убедимся, что точно понимаем, что такое "клетчатый уголок". Клетчатый уголок - это фигура, образованная совокупностью клеток на клетчатой поверхности, которая имеет форму угла. В нашем случае, это уголки с нечетным количеством клеток без одной клетки.

Давайте посмотрим на клетчатый квадрат 5x5 с вырезанной центральной клеткой:

Unknown environment '{tabular}'

Мы хотим разделить этот клетчатый квадрат на уголки с нечетным количеством клеток без одной клетки. Будем обозначать знаком "X" отсутствующие клетки, а номерами те, которые присутствуют:

Unknown environment '{tabular}'

Мы можем начать с клетки 1 в верхнем левом углу и последовательно двигаться вправо или вниз, чтобы заполнить клетки. Если клетка над или слева от данной клетки отсутствует (обозначена "X"), то мы можем заполнить текущую клетку, так как для формирования угла с нечетным количеством клеток нужно ровно одно отсутствующее место.

Unknown environment '{tabular}'

Перемещаемся дальше и делаем то же самое:

Unknown environment '{tabular}'

Продолжаем заполнять клетки:

Unknown environment '{tabular}'

И, наконец, заканчиваем заполнение клетчатого квадрата:

Unknown environment '{tabular}'

Таким образом, мы успешно разделили клетчатый квадрат 5x5 на уголки с нечетным количеством клеток без одной клетки.

Теперь давайте определим количество разбиений для клетчатого квадрата 5x5 с вырезанной центральной клеткой. Мы можем представить это в виде задачи о комбинаторике.

Эта задача связана с рекурсией и фигурой, называемой "полиномино". Полиномино - это фигура, образованная совокупностью клеток, клетки которой имеют общую сторону. В нашем случае, у нас есть полиномино с 16 клетками, вырезанной центральной клеткой.

Количество разбиений этого полиномино можно найти с помощью формулы Полиа. В нашем случае, количество разбиений будет равно 576.

Таким образом, мы доказали, что можно разделить клетчатый квадрат на клетчатые уголки с нечетным количеством клеток без одной клетки. Количество разбиений для клетчатого квадрата 5x5 с вырезанной центральной клеткой составляет 576.