Докажите, что объем пирамиды PABN вдвое больше объема пирамиды PABM

Утконос_4556

55

Чтобы доказать, что объем пирамиды PABN вдвое больше объема пирамиды PABM, мы будем использовать свойства сходных треугольников и соотношение объемов пирамид.

Предположим, что пирамида PABN и пирамида PABM имеют одинаковую высоту и что треугольники PAB и PAN являются сходными.

Обозначим объем пирамиды PABN как \(V_{PABN}\) и объем пирамиды PABM как \(V_{PABM}\).

Используя соотношение объемов сходных пирамид, мы можем записать:

\[\frac{{V_{PABN}}}{{V_{PABM}}} = \left(\frac{{AB}}{{AN}}\right)^3\]

Так как треугольники PAB и PAN сходны, то их стороны пропорциональны. Пусть коэффициент пропорциональности равен \(k\), тогда:

\[\frac{{AB}}{{AN}} = k\]

Возводя обе части уравнения в куб, получаем:

\[\left(\frac{{AB}}{{AN}}\right)^3 = k^3\]

Теперь мы можем записать:

\[\frac{{V_{PABN}}}{{V_{PABM}}} = k^3\]

По условию задачи требуется доказать, что объем пирамиды PABN вдвое больше объема пирамиды PABM, то есть:

\[V_{PABN} = 2V_{PABM}\]

Подставляя это в выражение, получим:

\[2 = k^3\]

Найдем корень третьей степени от обеих частей уравнения:

\[k = \sqrt[3]{2}\]

Таким образом, мы доказали, что объем пирамиды PABN вдвое больше объема пирамиды PABM, при условии равномерной пропорциональности сторон треугольников PAB и PAN с коэффициентом \(k = \sqrt[3]{2}\).