Докажите, что отрезки AB и A1B1 равны. В цилиндре точки О и О1 являются центрами верхнего и нижнего основания
Докажите, что отрезки AB и A1B1 равны. В цилиндре точки О и О1 являются центрами верхнего и нижнего основания соответственно, и находятся на середине отрезка ОО1. На окружности верхнего основания выбраны точки A и B, которые не лежат на диаметре. На окружности нижнего основания выбраные точки A1 и B1 являются симметричными точками к точкам A и B соответственно относительно точки К. Необходимо доказать, что отрезки AB и A1B1 равны.
Zvonkiy_Spasatel 40
Для начала, давайте разберемся с данными. У нас есть цилиндр с центрами верхнего и нижнего основания в точках О и О1 соответственно. Точки О и О1 находятся на середине отрезка ОО1.На окружности верхнего основания выбраны точки A и B, которые не лежат на диаметре. Точки A1 и B1 являются симметричными точками к точкам A и B соответственно относительно точки К на окружности нижнего основания.
Мы хотим доказать, что отрезки AB и A1B1 равны.
Для начала, обратимся к принципу симметрии в геометрии. Если точка M является симметричной точкой к точке N относительно точки P, то отрезок MN равен по длине отрезку MP.
В данном случае, по условию задачи, точки A1 и B1 являются симметричными точками к точкам A и B соответственно относительно точки К. Это означает, что отрезки A1K и BK равны по длине.
Теперь обратимся к отрезкам АВ и А1В1. Выложим их на рассмотрение.
AB: О- - - - - - - - - A - - - - - - - - - B - - - - - - - - - О1
A1B1: О- - - - - - - - - A1 - - - - - - - - - B1 - - - - - - - - - О1
Так как точки О и О1 находятся на середине отрезка ОО1, то отрезок ОО1 делит AB и A1B1 на две равные части.
Теперь рассмотрим следующее. У нас есть равные отрезки A1K и BK. Вспомним принцип симметрии: если точка M является симметричной точкой к точке N относительно точки P, то отрезок MN равен по длине отрезку MP.
В нашем случае, точка К является симметричной точкой к точке О1 относительно точек А и B. Следовательно, отрезок А1О1 равен по длине отрезку АК, и отрезок ВО1 равен по длине отрезку ВК.
Теперь обратимся к нашим отрезкам.
AB: О- - - - - - - - - A - - - - - - - - - B - - - - - - - - - О1
A1B1: О- - - - - - - - - A1 - - - - - - - - - B1 - - - - - - - - - О1
Мы можем заметить, что отрезок АК эквивалентен по длине отрезку АО1, так как они являются диагоналями прямоугольника АО1КО.
Точно так же, отрезок ВК эквивалентен по длине отрезку ВО1.
Аналогично, отрезок КО1 имеет такую же длину, как и отрезок АК.
Из этого следует, что отрезки АО1 и АК равны по длине, отрезки ВК и ВО1 равны по длине, и отрезки АК и КО1 равны по длине.
Таким образом, все отрезки АО1, ВК, ВО1 и КО1 равны по длине. Из этого следует, что отрезки AB и A1B1 равны.
Получается, что мы доказали, что отрезки AB и A1B1 равны, исходя из условий задачи, принципа симметрии и конкретного расположения точек на окружностях верхнего и нижнего оснований данного цилиндра.