Докажите, что плоскость А, проходящая через медиану CD и прямую OM, перпендикулярна прямой AB. Вычислите длину отрезка

Sokol

58

Чтобы доказать, что плоскость А перпендикулярна прямой AB, мы можем воспользоваться свойством пересечения перпендикулярных прямых и плоскостей. По условию, известно, что прямая AB имеет длину 10 см, а точка O является центром отрезка AB.

Для начала, нам понадобится найти точку D, через которую проходит медиана CD. Медиана CD - это отрезок, соединяющий вершину треугольника ABC и середину его противоположной стороны. Так как точка O является центром отрезка AB, то она также будет лежать на медиане CD. Давайте обозначим точку D как середину стороны AB, то есть D будет координатой (5,0).

Теперь, для доказательства перпендикулярности плоскости А прямой AB, нам понадобится найти векторы, параллельные этим линиям. Вектор, параллельный прямой AB, будет равен вектору \(\vec{AB}\), а вектор, параллельный плоскости А, будет равен векторному произведению векторов \(\vec{CD}\) и \(\vec{OM}\).

Давайте найдем векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{OM}\). Вектор \(\vec{AB}\) можно найти, вычислив разность координат точек A и B:

\[
\vec{AB} = \begin{bmatrix} B_x - A_x \\ B_y - A_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 - 10 \\ 0 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ 0 \end{bmatrix}
\]

Вектор \(\vec{CD}\) можно найти, вычислив разность координат точек C и D:

\[
\vec{CD} = \begin{bmatrix} D_x - C_x \\ D_y - C_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 - 0 \\ 0 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 0 \end{bmatrix}
\]

Теперь нам нужно найти вектор \(\vec{OM}\). Так как точка O является центром отрезка AB, вектор \(\vec{OM}\) будет направлен к точке O и его длина будет равна половине длины вектора \(\vec{AB}\). Таким образом:

\[
\vec{OM} = \frac{1}{2} \vec{AB} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -10 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 0 \end{bmatrix}
\]

Теперь мы готовы вычислить векторное произведение векторов \(\vec{CD}\) и \(\vec{OM}\):

\[
\vec{CD} \times \vec{OM} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \textbf{i} - 0 \textbf{j} + 0 \textbf{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]

Получили, что векторное произведение \(\vec{CD}\) и \(\vec{OM}\) равно нулевому вектору. Это означает, что векторы \(\vec{CD}\) и \(\vec{OM}\) лежат в одной плоскости, что соответствует условию задачи.

Таким образом, мы доказали, что плоскость А, проходящая через медиану CD и прямую OM, перпендикулярна прямой AB.

Теперь давайте вычислим длину отрезка OD. Для этого нам понадобится применить теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ODC.

Длина отрезка OD:

\[
OD = \sqrt{OC^2 - CD^2}
\]

Так как точка O является центром отрезка AB, длины отрезков OC и CD будут равны половине длины AB:

\[
OC = CD = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}
\]

Теперь мы можем вычислить длину отрезка OD:

\[
OD = \sqrt{5^2 - 5^2} = \sqrt{25 - 25} = \sqrt{0} = 0 \text{ см}
\]

Таким образом, длина отрезка OD равна 0 см. Это означает, что точка D совпадает с точкой O.

Итак, мы доказали, что плоскость А перпендикулярна прямой AB, и вычислили длину отрезка OD, которая равна 0 см.