векторы m и q ортогональны друг другу и имеют одинаковую длину: 3 см. → → найди скалярное произведение векторов a и

Морской_Путник_7325

70

Для нахождения скалярного произведения векторов a и b, которые являются линейной комбинацией векторов m и q, необходимо выразить векторы a и b через векторы m и q, а затем применить определение скалярного произведения.

Исходя из условия, вектор a представляется как 4m - 4q, а вектор b - как 4m + 3q.

Скалярное произведение векторов a и b определяется следующим образом:
\[a \cdot b = |a||b|\cos(\theta)\]
где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами a и b.

Длина вектора m равна 3 см, а векторы m и q ортогональны, следовательно, угол между ними составляет 90 градусов.

Теперь можем вычислить скалярное произведение a и b:
\[a \cdot b = (4m - 4q) \cdot (4m + 3q)\]

Раскрыв скобки и учитывая ортогональность векторов m и q, получаем:
\[a \cdot b = (16m \cdot m - 12m \cdot q - 16q \cdot m - 12q \cdot q)\]

Так как векторы m и q имеют одинаковую длину, их скалярное произведение на самом себе равно произведению их длин в квадрате:
\[m \cdot m = q \cdot q = (3см)^2 = 9\,см^2\]

Также, учитывая ортогональность векторов m и q, их скалярное произведение равно 0:
\[m \cdot q = q \cdot m = 0\]

Подставляя эти значения в выражение для скалярного произведения a и b, получаем:
\[a \cdot b = (16 \cdot 9см^2 - 16 \cdot 0 - 16 \cdot 0 - 12 \cdot 9см^2) = 144см^2 - 108см^2 = 36см^2\]

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно 36 квадратным сантиметрам.