Докажите, что прямая b, параллельная прямой a и имеющая общую точку с плоскостью альфа, также принадлежит этой

Витальевна

8

Чтобы доказать, что прямая b, параллельная прямой a и имеющая общую точку с плоскостью альфа, также принадлежит этой плоскости, нам потребуется использовать определение параллельности прямых и свойства плоскости.

По определению, две прямые считаются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются ни в одной точке. Известно, что прямая b параллельна прямой a, значит они должны лежать в одной плоскости.

Для того чтобы доказать, что прямая b также принадлежит плоскости альфа, нам нужно показать, что прямая b лежит в этой плоскости и удовлетворяет уравнению плоскости.

Пусть \(P\) - общая точка прямой b и плоскости альфа.

Так как прямая b и прямая a параллельны, то направляющий вектор прямой b будет параллелен направляющему вектору прямой a. Пусть \(\mathbf{v}\) - направляющий вектор прямой a, и пусть \(\mathbf{n}\) - нормальный вектор плоскости альфа. Тогда \(\mathbf{v}\) должен быть перпендикулярен \(\mathbf{n}\), так как он лежит в плоскости альфа.

Теперь мы можем записать уравнение прямой b в параметрической форме, используя точку \(P\) и направляющий вектор \(\mathbf{v}\):
\[b: \vec{r} = \vec{P} + t\mathbf{v},\]
где \(t\) - параметр.

Поскольку прямая b должна пересекать плоскость альфа, точка \(\vec{P}\) должна удовлетворять уравнению плоскости альфа.

Уравнение плоскости альфа может быть записано как:
\(\mathbf{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A}) = 0,\)
где \(\vec{A}\) - любая точка, принадлежащая плоскости альфа.

Подставив уравнение прямой b в уравнение плоскости альфа, получим:
\(\mathbf{n} \cdot (\vec{P} + t\mathbf{v} - \vec{A}) = 0.\)

Теперь нам нужно показать, что для любого значения параметра \(t\) это уравнение выполняется.

Раскрывая скалярное произведение и упрощая выражение, получим:
\(\mathbf{n} \cdot \vec{P} + t(\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}) - \mathbf{n} \cdot \vec{A} = 0.\)

Так как \(\mathbf{n}\) перпендикулярен направляющему вектору \(\mathbf{v}\), то \(\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0\), и уравнение примет вид:
\(\mathbf{n} \cdot \vec{P} - \mathbf{n} \cdot \vec{A} = 0.\)

Обозначим \(\vec{B} = \vec{P} - \vec{A}\). Теперь у нас есть:
\(\mathbf{n} \cdot \vec{B} = 0\).

Это означает, что вектор \(\vec{B}\) ортогонален нормальному вектору плоскости альфа и, следовательно, лежит в этой плоскости.

Таким образом, мы показали, что прямая b, параллельная прямой a и имеющая общую точку с плоскостью альфа, также лежит в этой плоскости.