Докажите, что расстояния от двух точек пересечения продолжений высот до третьей вершины треугольника равны

Sabina

17

Для доказательства того, что расстояния от двух точек пересечения продолжений высот до третьей вершины треугольника равны, мы воспользуемся свойствами высот треугольника и свойством пересечения прямых.

Предположим, у нас есть треугольник ABC, и точки D и E являются точками пересечения продолжений высот, проведенных из вершин B и C соответственно.

Давайте рассмотрим треугольники ABD и ACD. Эти треугольники являются подобными, так как у них углы B и C равны 90 градусам (так как это высоты треугольника) и угол A общий для обоих треугольников. Также, сторона AD общая для обоих треугольников, так как это сторона треугольника ABC.

Из подобия треугольников ABD и ACD следует, что их стороны пропорциональны. Обозначим расстояния от точек D и E до вершины A как x и y соответственно.

Мы можем записать следующие пропорции, используя стороны треугольников ABD и ACD:

\[\frac{x}{AD} = \frac{DB}{AB} \quad \text{и} \quad \frac{y}{AD} = \frac{EC}{AC}\]

Мы знаем, что BB и CC являются высотами треугольника ABC, поэтому DB и EC являются расстояниями от точек D и E до вершины A, соответственно.

Теперь мы можем переписать пропорции:

\[\frac{x}{AD} = \frac{DB}{AB} \quad \text{и} \quad \frac{y}{AD} = \frac{EC}{AC}\]

Учитывая, что AB и AC являются фиксированными длинами, чтобы доказать, что x = y, нам нужно показать, что \(\frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}\).

Теперь рассмотрим треугольник DBF, в котором F - точка пересечения продолжения высоты из вершины A и стороны BC. Этот треугольник также подобен треугольнику ABC.

Мы можем записать пропорцию для треугольников ABC и DBF:

\[\frac{AB}{DB} = \frac{AC}{BF}\]

Так как AB и AC являются фиксированными длинами, пропорция может быть переписана как:

\[\frac{1}{DB} = \frac{AC}{BF}\]

Также, рассмотрим треугольник ECG, в котором G - точка пересечения продолжения высоты из вершины A и стороны BC. Этот треугольник также подобен треугольнику ABC.

Мы можем записать пропорцию для треугольников ABC и ECG:

\[\frac{AC}{EC} = \frac{AB}{CG}\]

Так как AB и AC являются фиксированными длинами, пропорция может быть переписана как:

\[\frac{AC}{EC} = \frac{1}{CG}\]

Теперь объединим полученные пропорции:

\[\frac{1}{DB} = \frac{AC}{BF}\] и \[\frac{AC}{EC} = \frac{1}{CG}\]

Умножим обе пропорции:

\[\frac{1}{DB} \cdot \frac{AC}{EC} = \frac{AC}{BF} \cdot \frac{1}{CG}\]

Это равносильно:

\[\frac{AC}{DB \cdot EC} = \frac{AC}{BF \cdot CG}\]

Отсюда следует, что \(DB \cdot EC = BF \cdot CG\).

Теперь рассмотрим треугольник EBD. Из утверждения о том, что произведение боковых сторон треугольника подобно стороне, проведенной от вершины A, следует, что \(DB \cdot EC = EB \cdot AD\).

Из этого следует, что \(EB \cdot AD = BF \cdot CG\).

Учитывая равенство \(DB \cdot EC = BF \cdot CG\), мы получаем:

\(EB \cdot AD = DB \cdot EC\).

Теперь поделим обе стороны на AD:

\(EB = DB \cdot \frac{EC}{AD}\).

Мы знаем, что \(\frac{EC}{AD} = \frac{y}{x}\), поэтому можем записать:

\(EB = DB \cdot \frac{y}{x}\).

Аналогично, рассмотрим треугольник EBD. Из подобия треугольников ABD и ACD, следует, что

\(EB = DB \cdot \frac{y}{x}\).

Таким образом, мы показали, что \(EB = DB \cdot \frac{y}{x}\).

Теперь рассмотрим треугольник FCB. Из утверждения о том, что произведение боковых сторон треугольника подобно стороне, проведенной от вершины A, следует, что \(FB \cdot AC = BF \cdot CG\).

Учитывая, что \(AC = AD + DC\), можем записать:

\(FB \cdot (AD + DC) = BF \cdot CG\).

Раскроем скобки:

\(FB \cdot AD + FB \cdot DC = FB \cdot CG\).

Вычтем FB от обеих сторон:

\(FB \cdot AD + DC = CG\).

Мы уже знаем, что \(FB = DB \cdot \frac{y}{x}\), поэтому можем записать:

\(DB \cdot \frac{y}{x} \cdot AD + DC = CG\).

Из пропорции между сторонами треугольников ABD и ACD, мы знаем, что \(\frac{DC}{AD} = \frac{y}{x}\).

Таким образом, можем записать:

\(DB \cdot \frac{y}{x} \cdot AD + AD \cdot \frac{y}{x} = CG\).

Факторизуем:

\(AD \cdot \left(DB \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x}\right) = CG\).

Упростим:

\(AD \cdot \left(\frac{x \cdot DB + y}{x}\right) = CG\).

Мы уже знаем, что \(EB = DB \cdot \frac{y}{x}\), поэтому можем записать:

\(AD \cdot \left(\frac{x \cdot EB}{x}\right) = CG\).

Сократим \(x\) в числителе и знаменателе:

\(AD \cdot EB = CG\).

Таким образом, мы показали, что \(EB = CG\).

Из равенства \(EB = CG\) и \(EB = DB \cdot \frac{y}{x}\) следует, что

\(DB \cdot \frac{y}{x} = CG\).

Так как \(EB = DB \cdot \frac{y}{x}\), мы можем записать:

\(EB = CG\).

Итак, мы доказали, что расстояния от двух точек пересечения продолжений высот до третьей вершины треугольника равны.