Докажите, что разность между sb и sc равна da в прямоугольнике ABCD, где s является произвольной точкой в пространстве

Жемчуг

43

Для начала, давайте разберемся с обозначениями. В нашем прямоугольнике ABCD, пусть точка S является произвольной точкой в пространстве. Мы хотим доказать, что разность между sb и sc равна da.

Предположим, что точка S находится на отрезке AD, как показано на рисунке ниже:

$$\begin{array}{rl}A& ---\text{sbvar}\text{sspvar}----------------------------D\\ ||\\ ||\\ s--C\\ |\\ |\\ B\end{array}$$

Здесь sb обозначает расстояние от точки S до стороны AB, а sc - расстояние от точки S до стороны BC. Мы хотим доказать, что sb - sc = da.

Для начала рассмотрим треугольники ASD и CSC. Оба треугольника имеют общую высоту SС, поэтому их площади пропорциональны и можно записать:

$$\frac{\text{{Площадь}}ASD}{\text{{Площадь}}CSC}=\frac{\text{{Высота}}ASD}{\text{{Высота}}CSC}$$

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, поэтому:

$$\frac{\frac{1}{2}\cdot sb\cdot da}{\frac{1}{2}\cdot sc\cdot da}=\frac{sb}{sc}$$

Сокращаем на $\frac{1}{2}\cdot da$ и получаем:

$$\frac{sb}{sc}=\frac{sb}{sc}$$

Из этого следует, что sb = sc, что и требовалось доказать.