Докажите, что разность между sb и sc равна da в прямоугольнике ABCD, где s является произвольной точкой в пространстве

Жемчуг

43

Для начала, давайте разберемся с обозначениями. В нашем прямоугольнике ABCD, пусть точка S является произвольной точкой в пространстве. Мы хотим доказать, что разность между sb и sc равна da.

Предположим, что точка S находится на отрезке AD, как показано на рисунке ниже:

\[
\begin{align*}
A &---\sbvar{}\sspvar{}----------------------------D \\
| | \\
|\ | \\
s- - C \\
|\ \\
|\ \\
B
\end{align*}
\]

Здесь sb обозначает расстояние от точки S до стороны AB, а sc - расстояние от точки S до стороны BC. Мы хотим доказать, что sb - sc = da.

Для начала рассмотрим треугольники ASD и CSC. Оба треугольника имеют общую высоту SС, поэтому их площади пропорциональны и можно записать:

\[
\frac{{\text{{Площадь}}\ ASD}}{{\text{{Площадь}}\ CSC}} = \frac{{\text{{Высота}}\ ASD}}{{\text{{Высота}}\ CSC}}
\]

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, поэтому:

\[
\frac{{\frac{1}{2} \cdot sb \cdot da}}{{\frac{1}{2} \cdot sc \cdot da}} = \frac{{sb}}{{sc}}
\]

Сокращаем на \(\frac{1}{2} \cdot da\) и получаем:

\[
\frac{{sb}}{{sc}} = \frac{{sb}}{{sc}}
\]

Из этого следует, что sb = sc, что и требовалось доказать.