Докажите, что сечение правильного прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 через вершины A, C и серединную точку

Yagoda

32

Для доказательства того, что сечение правильного прямоугольного параллелепипеда является трапецией с равными основаниями, рассмотрим данную геометрическую фигуру подробнее.

1. Первым шагом докажем, что линии AM и CM являются параллельными. Для начала заметим, что AM является диагональю грани ABCD, а CM - диагональю грани A1B1C1D1. Так как параллелограмм ABCDA1B1C1D1 является правильным, диагонали граней ABCD и A1B1C1D1 пересекаются в их точках пересечения O и O1 соответственно. По свойствам параллелограмма, диагонали граней делятся пополам, следовательно, точки O и O1 являются серединами диагоналей AB и A1B1 соответственно. По определению, отрезок MO можно представить как полусумму отрезков AO и CO, а отрезок МO1 - как полусумма отрезков A1O1 и C1O1. Таким образом, получаем следующее равенство:
MO = 1/2(AO + CO), (1)
MO1 = 1/2(A1O1 + C1O1). (2)

2. Покажем, что стороны трапеции, образованной сечением, равны. Найдем выражение для каждой из них.
a) Сторона MN: Отрезок MN является альтитюдой треугольника ACD, построенной на стороне AC. Так как AC является диагональю грани ABCD, то треугольник ACD - прямоугольный, и поэтому высота, опущенная из вершины A на сторону CD, является перпендикуляром к CD. Так как AB || CD (параллельны), а трапеция ADNM получается сечением правильного параллелепипеда, то MN || AB. Аналогично, MN || A1B1. Следовательно, MN является параллельной боковым ребрам параллелепипеда, и мы можем выразить MN через его высоту МО (используя аналогичные треугольники):
MN = 1/2 (BC + A1B1). (3)

b) Сторона KL: Отрезок KL - это высота трапеции, опущенная на основание AC. Она проходит через середину отрезка МO1 (как описано ранее) и параллельна боковым ребрам параллелепипеда. Аналогично, KL || AD и KL || A1D1. Поэтому KL можно записать через стороны основания трапеции. Используя аналогичные треугольники, получим:
KL = 1/2 (AD + A1D1). (4)

3. Сравним стороны MN и KL. Подставим выражения (1), (2), (3) и (4) в равенство KL = MN и упростим его:
1/2 (AD + A1D1) = 1/2 (BC + A1B1) (5)
AD + A1D1 = BC + A1B1. (6)

4. Докажем, что выражение (6) верно. Сравним стороны прямоугольного параллелепипеда.
a) Сторона AD: Диагонали грани ABCD также являются диагоналями боковой грани A1B1C1D1, поэтому AD = A1D1.
b) Сторона BC: Так как грань ABCD прямоугольная, то BC || AD (параллельны), а значит, ABCD - прямоугольник. Поэтому BC = AD.
c) Сторона A1B1: Отрезок A1B1 является диагональю грани A1B1C1D1, которая является прямоугольником. Поэтому A1B1 = A1D1.

Таким образом, AD + A1D1 = BC + A1B1, что эквивалентно равенству (6). Это значит, что сечение, проходящее через вершины A, C и серединную точку M ребра D1C1, является трапецией с равными основаниями KL и MN.