Докажите, что среди углов, образованных 10 проведенными через точку прямыми, есть угол, размер которого превышает

Panda

68

Для начала, давайте разберемся с условием задачи. У нас есть точка, и через нее проведено 10 прямых. Мы должны доказать, что среди углов, образованных этими прямыми, есть угол, размер которого превышает...

Для обоснования ответа воспользуемся методом противоположного предположения. Предположим, что все углы, образованные этими прямыми, имеют размеры меньше указанного значения. Давайте посмотрим на следующую схему:

\[
\begin{array}{cccccccccc}
& A & B & C & D & E & F & G & H & I \\
1 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
\end{array}
\]

Пусть угол, размер которого превышает указанное значение, не существует. Тогда каждые две прямые пересекаются только в одной точке, и углы, образованные этими прямыми, все равны между собой и меньше указанного значения. Таким образом, мы можем продолжить нашу схему следующим образом:

\[
\begin{array}{cccccccccc}
& A & B & C & D & E & F & G & H & I \\
1 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
2 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
3 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
4 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
5 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
6 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
7 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
8 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
9 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
10 & \angle 1 & \angle 2 & \angle 3 & \angle 4 & \angle 5 & \angle 6 & \angle 7 & \angle 8 & \angle 9 \\
\end{array}
\]

Как мы видим, каждая прямая пересекается с каждой и образует угол, меньший указанного значения. Но если мы посчитаем все углы, то общая сумма должна быть равна 180 градусам. В данной ситуации получается, что общая сумма углов равна \(10 \times 180 = 1800\) градусам. Однако, согласно нашему предположению, общая сумма углов меньше. Получается противоречие. Таким образом, наше предположение неверно.

Из противного мы пришли к выводу, что среди углов, образованных этими прямыми, обязательно найдется угол, размер которого превышает указанное значение.