Докажите, что суммарная длина сторон треугольников PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP, которые также являются сторонами

Magiya_Zvezd_9507

2

Давайте рассмотрим треугольник PAK. Он имеет три стороны: PA, AK и PK. Аналогично, треугольники KDL, LBM, MEN, NCR и RFP имеют стороны KD, DL, LK, BM, ML, ME, EN, NR, RC, FP, PR, которые также являются сторонами шестиугольника PKLMNR.

Общий подход к решению такой задачи - использовать неравенство треугольника. Неравенство треугольника гласит, что для любого треугольника сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны.

Применим это неравенство к каждому из данных треугольников.

Для треугольника PAK: PA + AK > PK
Для треугольника KDL: KD + DL > LK
Для треугольника LBM: LK + BM > ML
Для треугольника MEN: ML + ME > EN
Для треугольника NCR: EN + NR > RC
Для треугольника RFP: RC + FP > PR

Теперь объединим все неравенства:
PA + AK + KD + DL + LK + BM + ML + ME + EN + NR + RC + FP > PK + ML + LK + EN + RC + PR

Заметим, что некоторые части неравенства повторяются: PK = KP, ML = LM, LK = KL, EN = NE, RC = CR. Учтем это и упростим неравенство:

PA + AK + KD + DL + BM + ME + NR + FP > PK + ML + EN + RC + PR

А так как шестиугольник PKLMNR является выпуклым, его периметр равен сумме всех его сторон. То есть:

PK + ML + EN + RC + PR = PKLMNR

По условию, нам известно, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 7 см. Значит,

PK + ML + EN + RC + PR < 7 см

Теперь вспомним наше неравенство:

PA + AK + KD + DL + BM + ME + NR + FP > PK + ML + EN + RC + PR

Подставим значение периметра шестиугольника:

PA + AK + KD + DL + BM + ME + NR + FP > 7 см

Таким образом, мы доказали, что суммарная длина сторон треугольников PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP, которые также являются сторонами шестиугольника PKLMNR, больше 7 см.

Обратите внимание, что в этом решении нам потребовалось использовать неравенство треугольника и предположить, что шестиугольник PKLMNR является выпуклым. Эти идеи позволили нам объединить неравенства и сделать заключение о суммарной длине сторон треугольников.