Докажите, что у прямых заданных параметрическими уравнениями x=2t-3, y=3t-2, z=-4t+6 и x=t+5, y=-4t-1, z=t-4 есть точка

Зимний_Вечер

9

Чтобы найти точку пересечения двух прямых, необходимо найти значения параметров \( t \), которые обеспечивают равенство координат \( x \), \( y \) и \( z \) для обеих прямых.

Давайте решим задачу поэтапно:

1. Создадим систему уравнений, равняя друг другу координаты \( x \), \( y \) и \( z \) для двух прямых:
\[
\begin{cases}
2t - 3 = t + 5, \\
3t - 2 = -4t - 1, \\
-4t + 6 = t - 4.
\end{cases}
\]

2. Решим первое уравнение:
\[
2t - 3 = t + 5.
\]

Вычитая \( t \) из обеих частей, получим:
\[
t = 8.
\]

3. Подставим найденное значение \( t \) во второе уравнение и решим его:
\[
3t - 2 = -4t - 1.
\]

Подставляя \( t = 8 \), получим:
\[
3 \cdot 8 - 2 = -4 \cdot 8 - 1,
\]
\[
24 - 2 = -32 - 1,
\]
\[
22 = -33.
\]

Такое уравнение не имеет решений.

4. Подставим найденное значение \( t \) в третье уравнение и решим его:
\[
-4t + 6 = t - 4.
\]

Подставляя \( t = 8 \), получим:
\[
-4 \cdot 8 + 6 = 8 - 4,
\]
\[
-32 + 6 = 4,
\]
\[
-26 = 4.
\]

Такое уравнение также не имеет решений.

5. Итак, мы получили, что система уравнений не имеет общего решения. Это означает, что данные прямые не пересекаются, и точки пересечения у них нет.

Окончательный вывод: У прямых, заданных параметрическими уравнениями \( x = 2t - 3, y = 3t - 2, z = -4t + 6 \) и \( x = t + 5, y = -4t - 1, z = t - 4 \) нет точки пересечения.