3. Предположим, у нас есть две точки A и B. Требуется показать, что для всех точек C и D в пространстве выполняется

Яксоб

40

Для доказательства данного равенства, нам понадобится использовать следующие свойства векторов:

1. Свойство коммутативности сложения: для любых векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), сумма \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) равна \(\overrightarrow{AC}\).
2. Свойство ассоциативности сложения: для любых векторов \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\), сумма \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\) равна \(\overrightarrow{AD}\).
3. Свойство обратного вектора: для любого вектора \(\overrightarrow{AB}\), сумма \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}\) равна нулевому вектору \(\overrightarrow{0}\).

Итак, рассмотрим данную задачу в пространстве с точками A, B, C и D.

По определению, чтобы доказать равенство \(CB-CA = DB-DA\), нам нужно показать, что левая и правая части равенства представляют один и тот же вектор. Для этого мы можем использовать свойства векторов, описанные выше.

Рассмотрим первую часть равенства: \(CB-CA\). Согласно свойству коммутативности сложения, это можно переписать как \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\).

Теперь рассмотрим вторую часть равенства: \(DB-DA\). Снова используя свойство коммутативности сложения, это можно переписать как \(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA}\).

Таким образом, задача сводится к доказательству, что \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA}\).

Для этого мы можем переписать левую и правую части равенства, используя свойство ассоциативности сложения:

\(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA}\).

Заметим, что левая и правая части этого равенства представляют один и тот же вектор \(\overrightarrow{AD}\), так как \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BD}\) являются обратными векторами (и их сумма равна нулевому вектору \(\overrightarrow{0}\)), а \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DA}\) также являются обратными векторами.

Таким образом, мы доказали, что для всех точек C и D в пространстве выполняется равенство \(CB-CA = DB-DA\), что и требовалось доказать.

Важно заметить, что в данном доказательстве мы использовали только свойства векторов, которые являются основными свойствами алгебры векторов. Векторное равенство может быть доказано с использованием этих свойств и логики, демонстрируя равенство левой и правой частей через последовательные преобразования.