Докажите, что угол AOB также равен 90 градусов

Yastrebok_4493

38

Для доказательства того, что угол AOB также равен 90 градусов, нам необходимо использовать свойства окружностей и углов, а именно теорему о центральном угле.

Предположим, что у нас есть окружность с центром в точке O, а точки A и B являются точками на этой окружности, таким образом, A и B лежат на окружности с центром O.

Возьмем любую точку С на окружности внутри угла AOB и соединим точки A и C отрезком AC, а также точки B и C отрезком BC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. У нас есть два радиуса окружности, OA и OB, которые являются отрезками от центра окружности до точек A и B соответственно.

Так как радиус окружности перпендикулярен к отрезку, проведенному от его центра к точке окружности, получаем, что AO и BO являются перпендикулярными отрезками к отрезкам AC и BC соответственно.

Теперь мы помним свойство окружности, что центральный угол, соответствующий данным дугам на окружности, равен удвоенному углу наклона между радиусами.

Таким образом, угол AOB, являющийся центральным углом, будет иметь такую же величину, как и угол ACB, который образуется между отрезками AC и BC.

Но у нас есть дополнительная информация о треугольнике ABC: A, B и C лежат на окружности, а значит, угол ACB является вписанным углом.

Теорема о вписанных углах гласит, что вписанный угол, образованный на окружности дугой, имеет величину, равную половине угла наклона на той же дуге.

Поскольку у нас есть угол ACB, который мы знаем, что равен половине угла AOB, а также угол AOB равен дважды углу ACB, а значит, угол AOB равен 90 градусам.

Таким образом, мы успешно доказали, что угол AOB также равен 90 градусам, используя свойства окружностей, центральный угол и вписанный угол.