Який радіус кола, що описує квадрат, що побудовано на стороні правильного трикутника навколо кола радіуса

Изумрудный_Дракон

58

Щоб знайти радіус кола, що описує квадрат, що побудовано на стороні правильного трикутника, ми можемо використати властивості правильних фігур.

Розглянемо правильний трикутник. В ньому всі сторони мають однакову довжину, і всі кути рівні 60 градусів. За означенням радіус кола, що описує правильний трикутник, є відстанню від центру кола до будь-якої його точки.

Якщо квадрат побудовано на стороні такого трикутника, то його діагональ буде рівна діаметру кола, а висота квадрата - це радіус кола.

Розглянемо побудову на площині. Діагональ квадрата є діаметром кола, тому її довжину ми можемо позначити як \(d\). Радіус кола ми позначимо як \(r\).

За теоремою Піфагора, беручи півдіагональ квадрата як гіпотенузу, а сторону квадрата як один із катетів, ми можемо записати:
\[
\left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = r^2
\]
Спрощуючи це рівняння, ми отримуємо:
\[
\frac{d^2}{4} + \frac{d^2}{4} = r^2
\]
Об"єднавши доданки, отримаємо:
\[
\frac{2d^2}{4} = r^2
\]
Далі спрощємо формулу, ми маємо:
\[
\frac{d^2}{2} = r^2
\]
Отже, виразимо радіус \(r\):
\[
r = \frac{d}{\sqrt{2}}
\]

Отже, радіус кола, що описує квадрат, що побудовано на стороні правильного трикутника, дорівнює \( \frac{d}{\sqrt{2}} \).