Докажите, что в треугольнике ABC угол ABC больше 120 градусов, если медиана BM меньше половины его сторон AB

Путешественник_Во_Времени

44

Чтобы доказать, что угол ABC больше 120 градусов, когда медиана BM меньше половины стороны AB, давайте рассмотрим некоторые свойства треугольника и вспомним определение медианы.

Медиана треугольника проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны. В данной задаче, медиана BM треугольника ABC проходит через вершину B и середину стороны AC.

Для более удобного рассмотрения давайте представим треугольник ABC и медиану BM следующим образом:

A
/ \
M---B
\ /
C

Теперь давайте рассмотрим отношение медианы BM к стороне AB. Поскольку медиана BM меньше половины стороны AB, можно записать это отношение в виде:

BM < (1/2)AB.

Теперь рассмотрим отношение медианы BM к стороне AC. Поскольку медиана BM проходит через середину стороны AC, она делит сторону на две равные части. Поэтому BM равна половине стороны AC:

BM = (1/2)AC.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BCM. Мы знаем, что у треугольника медианы делятся пополам, поэтому угол MBC равен углу CMB, а угол BCM равен углу BMC.

Теперь обратим внимание на треугольник ABC. Поскольку у треугольника ABC все углы в сумме равны 180 градусам, мы можем записать:

Угол ABC + угол BAC + угол ACB = 180 градусов.

Поскольку угол BAC и угол ACB равны углам BCM и CBM соответственно, мы можем заменить их:

Угол ABC + угол BCM + угол CBM = 180 градусов.

Теперь мы можем заменить углы BCM и CBM (которые равны друг другу, согласно свойствам треугольника с медианой) на угол B (поскольку угол B равен углу BCM и CBM). Получим следующее:

Угол ABC + угол B + угол B = 180 градусов.

Угол АВС + 2 * угол B = 180 градусов.

Теперь давайте выразим угол ABC через угол B:

Угол ABC = 180 градусов - 2 * угол B.

Теперь, чтобы доказать, что угол ABC больше 120 градусов, нам нужно показать, что 180 градусов минус двойной угол B больше 120 градусов. Выражаем это в виде неравенства:

180 градусов - 2 * угол B > 120 градусов.

Упрощаем это неравенство:

60 градусов > 2 * угол B.

30 градусов > угол B.

Таким образом, мы доказали, что если медиана BM меньше половины стороны AB, то угол ABC будет больше 120 градусов.