Докажите параллельность плоскостей mpk и abc при условии, что угол dab равен углу dmp, а угол dmk равен углу

Bulka

45

Создадим две прямые, проходящие через точку D и параллельные соответствующим рёбрам двух плоскостей. Обозначим эти прямые как ℓ1 и ℓ2 соответственно.

Теперь рассмотрим треугольники DAB и DMP. У нас есть две равенства углов данного треугольника:
1) Угол DAB равен углу DMP (дано).
2) Угол D является общим для обоих треугольников.

Из этих двух равенств следует, что треугольники DAB и DMP равны по углам. Так как треугольники с равными углами считаются подобными, то у этих треугольников также будут равны соответствующие стороны.

Теперь вернемся к прямым ℓ1 и ℓ2, проходящим через точку D. Исходя из равенства сторон в подобных треугольниках, стороны AB и MP также должны быть пропорциональными друг другу.

Теперь рассмотрим треугольники ABM и DMP. У них имеются две равные стороны (AB и MP) и общая сторона (the segment DM, which lies on both triangles). Следовательно, эти треугольники равны по сторонам.

Из равенства сторон треугольников ABM и DMP следует, что углы B и P, лежащие напротив равных сторон, также должны быть равными.

Наконец, рассмотрим треугольник ABC. У него имеются две пары равных углов (углы A и B, а также углы B и P, полученные ранее), а следовательно, третьих углов A и C тоже будут равными.

Таким образом, все три угла треугольника ABC равны соответствующим углам треугольника DMP, что является определением параллельных плоскостей. Следовательно, плоскости mpk и abc параллельны.