Под б) (вопрос 16 из ЕГЭ профиля) в прямоугольном треугольнике ABC находимся точки M и N, которые являются серединами

Милашка_5458

49

Чтобы ответить на задачу и доказать, что треугольники AML и BLC подобны, мы можем использовать свойство биссектрис треугольника. Давайте рассмотрим каждую часть задачи более подробно.

а) Доказательство подобия треугольников AML и BLC.

Чтобы доказать подобие треугольников, мы должны установить соответствующие равные углы и пропорциональные стороны.

Поскольку точка M является серединой гипотенузы AB, то AM равно MB, так как точка M делит сторону AB пополам.

Аналогично, точка N является серединой катета BC, поэтому BN равно NC.

Теперь рассмотрим треугольник AML. У нас есть равенство сторон AM и MB. Известно, что в прямоугольном треугольнике AMB угол AMB прямой (90 градусов), поэтому AMB является прямым углом.

Поскольку AL является биссектрисой угла BAC, можно сказать, что угол BAL равен углу CAE.

Теперь рассмотрим треугольник BLC. У нас есть равенство сторон BN и NC. Также у нас есть прямой угол BLC из-за прямоугольного треугольника BLC.

Таким образом, у нас есть следующие равные углы:
\(\angle AMB = \angle BLC\) (прямые углы)
\(\angle BAL = \angle CAE\) (биссектриса)

У нас также есть пропорциональные стороны:
\(\frac{AM}{BL} = \frac{MB}{LC}\) (середины сторон гипотенузы и катета)

Исходя из этих равенств, мы можем заключить, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Нахождение отношения площадей треугольников AML и BLC.

Чтобы найти отношение площадей треугольников, мы можем использовать свойство подобных треугольников, которое гласит, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения длин соответствующих сторон.

Мы уже установили, что треугольники AML и BLC подобны, и мы знаем, что у них есть пропорциональные стороны \(\frac{AM}{BL}\) и \(\frac{MB}{LC}\).

Теперь обратимся к формуле для нахождения площади треугольника, которая составляет половину произведения длины основания на высоту, возвращаемую к этой основе.

Пусть S1 будет площадью треугольника AML, а S2 - площадью треугольника BLC.

Тогда мы можем записать формулы для площадей:

\(S1 = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot ML\)
\(S2 = \frac{1}{2} \cdot BL \cdot LC\)

Теперь возьмем отношение площадей:

\(\frac{S1}{S2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot ML}{\frac{1}{2} \cdot BL \cdot LC}\)

Мы можем упростить это выражение, сократив коэффициенты:

\(\frac{S1}{S2} = \frac{AM \cdot ML}{BL \cdot LC}\)

Так как мы уже установили, что \(\frac{AM}{BL}\) и \(\frac{MB}{LC}\) - пропорциональные стороны, мы можем заменить их соответствующими значениями:

\(\frac{S1}{S2} = \frac{\frac{AM}{BL} \cdot \frac{MB}{LC} \cdot ML}{BL \cdot LC}\)

Используя тождество \(\frac{MB}{LC} = \frac{AM}{BL}\), мы получаем:

\(\frac{S1}{S2} = \frac{\frac{AM}{BL} \cdot \frac{AM}{BL} \cdot ML}{BL \cdot LC}\)

Применяя данное равенство \(\cos \angle BAC = \frac{7}{25}\), мы можем преобразовать выражение следующим образом:

\(\frac{S1}{S2} = \frac{(\frac{7}{25})^2 \cdot ML}{BL \cdot LC}\)

Итак, отношение площадей треугольников равно \((\frac{7}{25})^2\), что можно упростить до \(\frac{49}{625}\).

Таким образом, отношение площадей треугольников AML и BLC составляет \(\frac{49}{625}\).