Докажите равенство в правильном многоугольнике суммы длин перпендикуляров, проведенных из точки, находящейся внутри

Skat

20

Для доказательства данного равенства рассмотрим правильный многоугольник со сторонами длины \(a\) и с центром в точке \(O\). Пусть \(P\) – произвольная точка, находящаяся внутри многоугольника.

Для начала, давайте определим радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен половине длины стороны разделенной на тангенс половинного угла \(\alpha\), где \(\alpha\) является центральным углом многоугольника.

Таким образом, радиус вписанной окружности будет равен \(\frac{a}{2 \cdot \tan\left(\frac{180}{n}\right)}\), где \(n\) – количество сторон в многоугольнике.

Теперь рассмотрим перпендикуляры, проведенные из точки \(P\) на стороны многоугольника. Предположим, что перпендикуляр из точки \(P\) на сторону многоугольника, образует угол \(\theta\) с этой стороной.

Мы можем заметить, что для каждого из перпендикуляров на сторонах многоугольника, сумма длин отрезков от точки \(P\) до точек пересечения с соответствующей стороной равна \(a \cdot \sin(\theta)\).

Таким образом, сумма длин перпендикуляров равна \(\sum_{i=1}^{n} a \cdot \sin(\theta_i)\), где \(n\) – количество сторон многоугольника, а \(\theta_i\) – угол между перпендикуляром и соответствующей стороной.

Используя тригонометрические тождества, мы можем выразить сумму длин перпендикуляров через угол \(\theta\):

\(\sum_{i=1}^{n} a \cdot \sin(\theta_i) = a \cdot \sum_{i=1}^{n} \sin(\theta_i)\).

Теперь давайте рассмотрим угол \(\theta_i\). Для правильного многоугольника, каждый угол \(\theta_i\) будет равен углу между радиусом вписанной окружности и соответствующей стороной многоугольника. Данный угол можно найти по формуле:

\(\theta_i = \frac{180}{n}\).

Теперь мы можем подставить это значение в предыдущее выражение:

\(\sum_{i=1}^{n} \sin(\theta_i) = \sum_{i=1}^{n} \sin\left(\frac{180}{n}\right)\).

Таким образом, сумма длин перпендикуляров будет равна:

\(a \cdot \sum_{i=1}^{n} \sin(\theta_i) = a \cdot \sum_{i=1}^{n} \sin\left(\frac{180}{n}\right)\).

Также, заметим, что \(\sum_{i=1}^{n} \sin\left(\frac{180}{n}\right)\) – это сумма значений синусов углов из арифметической прогрессии. Для расчета этой суммы, мы можем использовать формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\(\sum_{i=1}^{n} \sin\left(\frac{180}{n}\right) = \frac{n \cdot \sin\left(\frac{180}{n}\right)}{2}\).

Теперь, подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим:

\(a \cdot \sum_{i=1}^{n} \sin(\theta_i) = a \cdot \frac{n \cdot \sin\left(\frac{180}{n}\right)}{2}\).

Итак, мы можем заключить, что сумма длин перпендикуляров равна:

\(a \cdot \sum_{i=1}^{n} \sin(\theta_i) = a \cdot \frac{n \cdot \sin\left(\frac{180}{n}\right)}{2}\).

Также, нам необходимо учесть, что \(a\) – это длина одной стороны многоугольника. Таким образом, сумма длин перпендикуляров, быть точнее, будет равна:

\(\boxed{a \cdot \frac{n \cdot \sin\left(\frac{180}{n}\right)}{2}}\).

Таким образом, мы доказали равенство суммы длин перпендикуляров, проведенных из точки, находящейся внутри правильного многоугольника, к длине стороны, умноженной на радиус вписанной окружности и число сторон.