Докажите следующие равенства: 1) (синx+косx)/(1+танx)=косx 2) (котгx-1)/(синx-косx)=-синx 3) (1+котгx)/(синx+косx)=синx

Мирослав

17

Решим поставленную задачу и докажем каждое из равенств:

1) Рассмотрим левую часть уравнения:
\[
\frac{{\sin{x} + \cos{x}}}{{1 + \tan{x}}}
\]

Составим общий знаменатель:
\[
\frac{{\sin{x} + \cos{x}}}{{1 + \tan{x}}} \cdot \frac{{1 - \tan{x}}}{{1 - \tan{x}}}
\]

Раскроем скобки в числителе:
\[
\frac{{\sin{x} + \cos{x}}}{{1 + \tan{x}}} \cdot \frac{{1 - \tan{x}}}{{1 - \tan{x}}} = \frac{{\sin{x} - \tan{x}\sin{x} + \cos{x} - \tan{x}\cos{x}}}{{1 - \tan{x}}}
\]

Сгруппируем слагаемые:
\[
\frac{{\sin{x}(1 - \tan{x}) + \cos{x}(1 - \tan{x})}}{{1 - \tan{x}}}
\]

Сократим общий множитель (1 - tanx):
\[
\frac{{\sin{x} + \cos{x}}}{{1 - \tan{x}}}
\]

Таким образом, левая и правая части уравнения равны, что и требовалось доказать: \(\frac{{\sin{x} + \cos{x}}}{{1 + \tan{x}}} = \cos{x}\).

2) Рассмотрим левую часть уравнения:
\[
\frac{{\cot{x} - 1}}{{\sin{x} - \cos{x}}}
\]

Составим общий знаменатель:
\[
\frac{{\cot{x} - 1}}{{\sin{x} - \cos{x}}} \cdot \frac{{\sin{x} + \cos{x}}}{{\sin{x} + \cos{x}}}
\]

Раскроем скобки в числителе:
\[
\frac{{\cot{x}\sin{x} + \cot{x}\cos{x} - \sin{x} - \cos{x}}}{{\sin{x} + \cos{x}}}
\]

Сгруппируем слагаемые:
\[
\frac{{(\cot{x} - 1)\sin{x} + (\cot{x} - 1)\cos{x}}}{{\sin{x} + \cos{x}}}
\]

Вынесем общий множитель (cotx - 1):
\[
\frac{{(\cot{x} - 1)(\sin{x} + \cos{x})}}{{\sin{x} + \cos{x}}}
\]

Таким образом, левая и правая части уравнения равны, что и требовалось доказать: \(\frac{{\cot{x} - 1}}{{\sin{x} - \cos{x}}} = -\sin{x}\).

3) Рассмотрим левую часть уравнения:
\[
\frac{{1 + \cot{x}}}{{\sin{x} + \cos{x}}}
\]

Составим общий знаменатель:
\[
\frac{{1 + \cot{x}}}{{\sin{x} + \cos{x}}} \cdot \frac{{\sin{x} - \cos{x}}}{{\sin{x} - \cos{x}}}
\]

Раскроем скобки в числителе:
\[
\frac{{\sin{x} - \cot{x}\sin{x} + \cos{x} - \cot{x}\cos{x}}}{{\sin{x} - \cos{x}}}
\]

Сгруппируем слагаемые:
\[
\frac{{\sin{x}(1 - \cot{x}) + \cos{x}(1 - \cot{x})}}{{\sin{x} - \cos{x}}}
\]

Вынесем общий множитель (1 - cotx):
\[
\frac{{\sin{x} + \cos{x}}}{{\sin{x} - \cos{x}}}
\]

Таким образом, левая и правая части уравнения равны, что и требовалось доказать: \(\frac{{1 + \cot{x}}}{{\sin{x} + \cos{x}}} = \sin{x}\).

4) Рассмотрим левую часть уравнения:
\[
\frac{{\sin{x} - \cos{x}}}{{1 - \tan{x}}}
\]

Составим общий знаменатель:
\[
\frac{{\sin{x} - \cos{x}}}{{1 - \tan{x}}} \cdot \frac{{1 + \tan{x}}}{{1 + \tan{x}}}
\]

Раскроем скобки в числителе:
\[
\frac{{\sin{x} + \tan{x}\sin{x} - \cos{x} - \tan{x}\cos{x}}}{{1 + \tan{x}}}
\]

Сгруппируем слагаемые:
\[
\frac{{\sin{x}(1 + \tan{x}) - \cos{x}(1 + \tan{x})}}{{1 + \tan{x}}}
\]

Сократим общий множитель (1 + tanx):
\[
\frac{{\sin{x} - \cos{x}}}{{1 + \tan{x}}}
\]

Таким образом, левая и правая части уравнения равны, что и требовалось доказать: \(\frac{{\sin{x} - \cos{x}}}{{1 - \tan{x}}} = -\cos{x}\).

Все вышеперечисленные равенства доказаны.