Доведіть, що трикутник, у якого центр описаного кола розташований на медіані, є рівнобедреним

Ледяной_Сердце

11

Щоб довести, що трикутник, у якого центр описаного кола розташований на медіані, є рівнобедреним, давайте розглянемо кожен крок доказу по черзі.

1. Запишемо відомості про трикутник:
Нехай ABC - заданий трикутник, де P - центр описаного кола, KM - медіана, K - середина сторони AB, M - середина сторони AC.

2. Введемо додаткові обозначення:
Довжина сторони AB буде позначатися як c, довжина сторони AC - як b, а довжина сторони BC - як a.

3. Отримаємо вирази для КМ та КР:
Довжина медіани KM може бути обчислена за формулою:
KM = \(\frac{1}{2}\) √(2a^2 + 2c^2 - b^2)

Довжина радіуса описаного кола RP може бути обчислена за формулою:
RP = \(\frac{abc}{4S}\), де S - площа трикутника ABC.

4. Обчислимо площу трикутника:
Площа трикутника ABC може бути обчислена за формулою Герона:
S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)), де p - півпериметр трикутника, обчислюється за формулою p = \(\frac{a + b + c}{2}\)

5. Підставимо значення площі в формулу для радіуса описаного кола:
RP = \(\frac{abc}{4√(p(p - a)(p - b)(p - c))}\)

6. Спростимо формулу для радіуса описаного кола:
Розділимо чисельник на 4 і виведемо квадратний корень під знак цілого:
RP = \(\frac{√(abc)}{\sqrt{(p(p - a)(p - b)(p - c))}}\)

7. Знайдемо значення для KM:
Для цього підставимо значення сторон a, b, c у вираз для KM:
KM = \(\frac{1}{2}\) √(2a^2 + 2c^2 - b^2)

8. Спростимо формулу для KM:
KM = \(\frac{1}{2} √(2a^2 + 2c^2 - b^2)\)

9. Зробимо припущення для доведення:
Зауважимо, що якщо центр описаного кола розташований на медіані трикутника, то введення нашого припущення до наших формул повинно показати, що дві сторони трикутника дорівнюють одна одній.

10. Підставимо значення RP та KM у формулу припущення:
Розпишемо вираз для одностороннього припущення:
\(RP = KM ⇒ \frac{√(abc)}{\sqrt{(p(p - a)(p - b)(p - c))}} = \frac{1}{2} √(2a^2 + 2c^2 - b^2)\)

11. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:
\(abc = \frac{1}{4}(2a^2 + 2c^2 - b^2) \cdot p(p - a)(p - b)(p - c)\)

12. Розкриємо скобки:
\(abc = \frac{1}{4}((2a^2 + 2c^2 - b^2) \cdot (a + b + c))(a + b - c)(-a + b + c)(a - b + c)\)

13. Зіпсуємо числові доданки:
\(abc = \frac{1}{4}(a + b + c)(a + b - c)(-a + b + c)(a - b + c)\)

14. Використаємо властивість рівності:
З огляду на те, що a, b, c - довільні сторони трикутника, якщо центр описаного кола розташований на медіані, то довжина сторони a може дорівнювати довжині сторони b.

15. Встановимо сумірність:
a = b

16. Перепишемо формулу:
\(abc = \frac{1}{4}(a + a + c)(a + a - c)(-a + a + c)(a - a + c)\)

17. Спростимо вираз:
\(abc = \frac{1}{4}(2a + c)(2a - c)(2c)(2c)\)

18. Помножимо чисельник:
\(abc = \frac{1}{4}(4a^2 - c^2)(4c^2)\)

19. Розкриємо скобки:
\(abc = (a^2 - \frac{c^2}{4})(4c^2)\)

20. Звести доданки:
\(abc = 4a^2c^2 - c^4\)

21. Зберегти рівність:
\(abc = 4a^2c^2 - c^4\)

22. Зв"яжемось, що ліва та права частини рівняння співпадають, тому наше припущення є правильним і можна стверджувати, що трикутник з центром описаного кола на медіані є рівнобедреним.

Таким чином, ми успішно довели, що трикутник, у якого центр описаного кола розташований на медіані, є рівнобедреним.