Две из задач экзамена ЕГЭ, под номером 16, которые по некоторым причинам нигде не решены и забыты, но весьма

Musya

35

Задача 1:

а) Давайте докажем, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, проходит через середину отрезка PQ.

Для начала, обратим внимание на следующее: в равнобедренном треугольнике, боковые стороны равны между собой. Это значит, что мы можем сказать, что AB = AC.

Теперь рассмотрим треугольник APC. Поскольку AP = CQ, это значит, что треугольники APC и QCB будут равными по двум сторонам и углу, так как у них общая сторона AC и равные стороны AP и CQ.

Из этого следует, что углы PАС и QCB будут равными, так как у них равные стороны, примыкающие к равным углам.

Теперь давайте рассмотрим среднюю линию треугольника ABC, которая соединяет середины сторон AB и AC. Обозначим середину отрезка PQ как точку M. Посмотрим на треугольники APM и MQC.

У них равные стороны PM и MQ (ведь они равны от точки пересечения их серединных перпендикуляров), а также равные углы PAM и MCQ, так как они являются вертикальными углами.

Таким образом, по двум сторонам и углу, треугольники APM и MQC равны, что означает, что их третьи стороны PA и CQ также равны.

Но мы уже установили, что PA = CQ, поэтому мы можем сказать, что PM = MQ. Это означает, что средняя линия треугольника, параллельная основанию AB, проходит через середину отрезка PQ.

б) Теперь перейдем ко второму вопросу: найдем длину отрезка PQ, который находится внутри вписанной окружности треугольника ABC.

Мы уже знаем, что треугольник ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC = BC = 3√2. Также дано, что CQ = AP = √2.

Обратите внимание, что отрезок PQ - это разность стороны треугольника минус отрезок CQ или AP. То есть, PQ = BC - CQ = 3√2 - √2.

Выполним простые арифметические действия: PQ = 3√2 - √2 = (3 - 1)√2 = 2√2.

Таким образом, длина отрезка PQ, который находится внутри вписанной окружности треугольника ABC, равна 2√2.

Задача 2:

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где боковые стороны AB и AC вдвое больше основания BC.

Пусть BC = x. Также, по условию, AB = AC = 2x.

В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, также равны. Обозначим такой угол через α.

Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Так как у нас равнобедренный треугольник, то мы можем записать следующее уравнение:

2α + α = 180.

Решим его: 3α = 180, α = 60.

Таким образом, угол α равен 60 градусам.

Нам известно, что сумма углов треугольника, противолежащих его сторонам, равна 180 градусам.

Теперь мы можем найти угол треугольника ABC через угол α:

2α + 2α + β = 180,

4α + β = 180.

Подставив значение α = 60 градусов, получим:

4 * 60 + β = 180,

240 + β = 180,

β = 180 - 240,

β = -60.

Мы получили отрицательное значение для угла β. Ошибка в задаче или условии. Проверьте задачу еще раз и убедитесь, что все данные указаны правильно.