Если a=10, найдите наименьшее значение c, при котором числа loga_b, logc_b, logc_d, loga_d образуют в указанном порядке

Вечный_Герой

23

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала вспомним, что арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент находится путем добавления одного и того же числа к предыдущему. В данной задаче нас интересуют последовательности чисел loga_b, logc_b, logc_d и loga_d, которые образуют арифметическую прогрессию.

Итак, у нас есть условие задачи: числа loga_b, logc_b, logc_d и loga_d образуют арифметическую прогрессию.

Для того, чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать свойства логарифмов. Вспомним, что loga_b означает логарифм числа b по основанию a.

Теперь мы можем начать решение задачи. Пусть разность между каждыми двумя последовательными членами арифметической прогрессии равна d. Исходя из этого, мы можем записать следующие равенства:

logc_b - loga_b = logc_d - logc_b = loga_d - logc_d = d.

Теперь мы знаем, что разность между каждыми двумя последовательными членами равна d. Вспомним, что loga_b означает логарифм числа b по основанию a. Используя это, мы можем записать следующие равенства:

\(\frac{{\log{b}}}{{\log{a}}} - \frac{{\log{b}}}{{\log{c}}} = \frac{{\log{d}}}{{\log{c}}} - \frac{{\log{b}}}{{\log{c}}} = \frac{{\log{d}}}{{\log{a}}} - \frac{{\log{d}}}{{\log{c}}} = d\).

У нас есть система из трех уравнений. Чтобы найти наименьшее значение c, мы можем решить эту систему уравнений относительно c.

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения. Я выберу метод подстановки для решения этой задачи.

Давайте подставим значения a = 10 и d = 5 в уравнения системы:

\(\frac{{\log{b}}}{{\log{10}}} - \frac{{\log{b}}}{{\log{c}}} = \frac{{\log{d}}}{{\log{c}}} - \frac{{\log{b}}}{{\log{c}}} = \frac{{\log{d}}}{{\log{10}}} - \frac{{\log{d}}}{{\log{c}}} = 5\).

Упростим выражения, используя свойства логарифмов и замену логарифма отношением:

\(\frac{{\log{b}}}{{1}} - \frac{{\log{b}}}{{\log{c}}} = \frac{{\log{5}}}{{\log{c}}} - \frac{{\log{b}}}{{\log{c}}} = \frac{{\log{5}}}{{1}} - \frac{{\log{5}}}{{\log{c}}} = 5\).

Для удобства подставим \(x = \frac{{\log{b}}}{{\log{c}}}\):

\(\log{b} - x\log{c} = 5\),
\(5 - x = \frac{{\log{5}}}{{\log{c}}}\),
\(5 - \frac{{\log{b}}}{{\log{c}}} = \frac{{\log{5}}}{{1}}\).

Во втором уравнении, заметим, что \(\log{c}\) в знаменателе можно выразить как \(\frac{{\log{b}}}{{5 - x}}\) из первого уравнения:

\(5 - \frac{{\log{b}}}{{\frac{{\log{b}}}{{5 - x}}}} = \frac{{\log{5}}}{{1}}\).

Упростим выражение:

\(5 - \frac{{(5 - x)\log{b}}}{{\log{b}}} = \log{5}\),
\(5 - (5 - x) = \log{5}\),
\(x = \log{5}\).

Таким образом, мы получили значение x = \(\log{5}\), которое равно \(\frac{{\log{5}}}{{\log{c}}}\). Отсюда можем найти значение c:

\(\log{c} = \frac{{\log{5}}}{{\log{c}}}\).

Умножим обе части на \(\log{c}\):

\((\log{c})^2 = \log{5}\).

Теперь возьмем экспоненту от обеих частей:

\(c = 10^{\log{5}}\).

Воспользуемся свойством логарифма, что \(\log_{a}{a} = 1\):

\(c = 5\).

Таким образом, наименьшее значение c, при котором числа loga_b, logc_b, logc_d, loga_d образуют арифметическую прогрессию, равно 5.

Надеюсь, этот ответ был полезным и понятным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.