Если целое число n не делится на 2 и не делится на 3, какие остатки можно получить при делении n³

Kosmos

51

Хорошо, давайте рассмотрим задачу. Пусть целое число n не делится на 2 и не делится на 3. Мы хотим найти все возможные остатки, которые могут быть получены при делении \(n^3\) на некоторое число.

Для начала, рассмотрим остатки от деления \(n\) на 2 и 3. Если \(n\) не делится на 2, то у нас есть два возможных случая: (1) \(n\) имеет остаток 1 при делении на 2 и (2) \(n\) имеет остаток 3 при делении на 2. Аналогично, если \(n\) не делится на 3, то у нас есть три возможных случая: (1) \(n\) имеет остаток 1 при делении на 3, (2) \(n\) имеет остаток 2 при делении на 3 и (3) \(n\) имеет остаток 4 при делении на 3.

Теперь, чтобы найти остатки при делении \(n^3\), мы можем возвести каждый из возможных остатков \(n\) в третью степень и найти соответствующие остатки.

Для случая, когда \(n\) имеет остаток 1 при делении на 2 и остаток 1 при делении на 3, возводим 1 в третью степень. Получаем: \(1^3 = 1\). Таким образом, при данном условии мы можем получить остаток 1 при делении \(n^3\).

Для случая, когда \(n\) имеет остаток 3 при делении на 2 и остаток 1 при делении на 3, возводим 3 в третью степень. Получаем: \(3^3 = 27\). Следовательно, при таком условии мы можем получить остаток 27 при делении \(n^3\).

Для случая, когда \(n\) имеет остаток 1 при делении на 2 и остаток 2 при делении на 3, возводим 1 в третью степень. Получаем: \(1^3 = 1\). Таким образом, при данном условии мы можем получить остаток 1 при делении \(n^3\).

Для случая, когда \(n\) имеет остаток 3 при делении на 2 и остаток 2 при делении на 3, возводим 3 в третью степень. Получаем: \(3^3 = 27\). Следовательно, при таком условии мы можем получить остаток 27 при делении \(n^3\).

Для случая, когда \(n\) имеет остаток 1 при делении на 2 и остаток 4 при делении на 3, возводим 1 в третью степень. Получаем: \(1^3 = 1\). Таким образом, при данном условии мы можем получить остаток 1 при делении \(n^3\).

Для случая, когда \(n\) имеет остаток 3 при делении на 2 и остаток 4 при делении на 3, возводим 3 в третью степень. Получаем: \(3^3 = 27\). Следовательно, при таком условии мы можем получить остаток 27 при делении \(n^3\).

Таким образом, при данных условиях мы можем получить два возможных остатка при делении \(n^3\): 1 и 27.