Если человек отойдет от фонаря на 2 метра, какова будет новая длина его тени? Ответ, выраженный в десятичном числе

Ариана

7

Для решения данной задачи, нам понадобится понимание основ геометрии и правил подобия треугольников.

Пусть исходная длина тени равна \(x\) метров. Когда человек отойдет на 2 метра от фонаря, его расстояние от фонаря составит \(x + 2\) метра. Важно заметить, что исходный треугольник с фонарем, человеком и его тенью подобен новому треугольнику, где фонарь, человек и его новая тень находятся друг от друга на таком же расстоянии, что и в исходном случае. Таким образом, предполагаем, что новая длина тени равна \(y\) метров.

Мы можем использовать правило подобия треугольников, которое гласит: "Если два треугольника подобны, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны".

Применяя это правило к нашей задаче, мы можем записать отношение длин сторон исходного и нового треугольников:

\[\frac{x}{y} = \frac{x+2}{x}\]

Для решения данного уравнения перекрестным умножением получаем:

\[x \cdot x = (x+2) \cdot y\]

Раскрываем скобки:

\[x^2 = xy + 2y\]

Переносим всё в одну часть уравнения:

\[x^2 - xy - 2y = 0\]

Теперь мы можем решить получившееся квадратное уравнение относительно \(y\). Дискриминант этого уравнения равен \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два различных корня, которые можно найти с помощью формулы:

\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = -2\):

\[y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}\]

Таким образом, получаем два значения для новой длины тени \(y\):

\[y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\]
\[y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\]

Мы получили два возможных значения для новой длины тени. Однако, поскольку длина тени не может быть отрицательной, мы отбрасываем значение \(y_2 = -1\) и оставляем только положительное значение:

Ответ: новая длина тени равна 2 метрам.