Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма двух его соседних углов не равна 180°. Если четырёхугольник

Magicheskiy_Edinorog

17

Чтобы доказать эти утверждения, нам нужно начать с определения параллелограмма. Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Затем мы можем приступить к доказательству каждого утверждения поочерёдно.

1. Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма двух его соседних углов не равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABCD - параллелограмм, AC и BD - его диагонали. Рассмотрим сумму двух соседних углов, например ∠ABC и ∠BCD.

По свойству параллелограмма, противоположные углы равны, поэтому ∠ABC = ∠CDA.

Также, по теореме о сумме углов треугольника, сумма углов треугольника ABC равна 180°.

Итак, ∠ABC + ∠BCD = (∠ABC + ∠CDA) + ∠BCD = 180° + ∠BCD ≠ 180°.

Таким образом, сумма двух соседних углов параллелограмма не равна 180°.

2. Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма углов, прилежащих к одной из его сторон, не равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABCD - параллелограмм, AB и CD - его стороны. Рассмотрим сумму углов прилежащих к стороне AB, например ∠BAD и ∠ABC.

По свойству параллелограмма, противоположные углы равны, поэтому ∠BAD = ∠CDA.

Также, по теореме о сумме углов треугольника, сумма углов треугольника ABC равна 180°.

Итак, ∠BAD + ∠ABC = (∠CDA + ∠ABC) + ∠ABC = 180° + ∠ABC ≠ 180°.

Таким образом, сумма углов, прилежащих к одной из сторон параллелограмма, не равна 180°.

3. Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противоположные стороны не равны и не параллельны.

Доказательство:

Пусть ABCD - параллелограмм, AB и CD - его стороны.

Предположим, что противоположные стороны равны. Тогда AB = CD.

Также, по свойству параллелограмма, противоположные стороны параллельны.

Но если стороны AB и CD равны и параллельны, то четырёхугольник ABCD является прямоугольником, а не параллелограммом, так как у прямоугольника все углы равны 90°, в то время как у параллелограмма это необязательно.

Таким образом, противоположные стороны параллелограмма не равны и не параллельны.

4. Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противоположные углы не равны.

Доказательство:

Пусть ABCD - параллелограмм, AC и BD - его диагонали. Рассмотрим противоположные углы, например ∠ABC и ∠CDA.

По свойству параллелограмма, противоположные углы равны, поэтому ∠ABC = ∠CDA.

Допустим, противное: ∠ABC = ∠CDA.

Тогда, по теореме о сумме углов в треугольнике, ∠ABC + ∠CDA + ∠BAD = 180°

Заменим ∠ABC на ∠CDA и получим ∠CDA + ∠CDA + ∠BAD = 180°.

2∠CDA + ∠BAD = 180°.

Но мы знаем, что в параллелограмме ∠BAD + ∠CDA = 180°, поэтому

∠BAD + ∠BAD = 180°.

2∠BAD = 180°.

∠BAD = 90°.

Таким образом, если противоположные углы параллелограмма равны, то они оба равны 90°, что делает четырёхугольник ABCD прямоугольником, а не параллелограммом.

Таким образом, противоположные углы параллелограмма не могут быть равны.

5. Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма его углов не равна 360°.

Доказательство:

Пусть ABCD - параллелограмм.

Разобьём параллелограмм на два треугольника:

∆ABC и ∆CDA.

По свойству параллелограмма, углы параллелограмма равны углам треугольников ∆ABC и ∆CDA.

Сумма углов треугольника ∆ABC равна 180°.

Сумма углов треугольника ∆CDA также равна 180°.

Итак, сумма углов параллелограмма ABCD равна сумме углов треугольников ∆ABC и ∆CDA, то есть 180° + 180° = 360°.

Таким образом, сумма углов параллелограмма равна 360°.

Из данного предположения следует противоречие.

Следовательно, четырёхугольник ABCD, являющийся параллелограммом, не может иметь сумму углов равной 360°.

Таким образом, все утверждения доказаны.