Если две стороны треугольника равны 3 и 4, то какая длина третьей стороны, если она равна медиане, проведенной к этой

Яхонт

57

Чтобы найти длину третьей стороны треугольника, если она равна медиане, проведенной к этой стороне, мы можем использовать теорему о медиане треугольника. Для данной задачи, нам даны две стороны треугольника - 3 и 4. Для начала, нам нужно найти третью сторону треугольника.

Пусть третья сторона треугольника будет обозначена как \(x\) (так как мы ищем ее длину). Теперь, согласно теореме о медиане, медиана треугольника делит выбранную сторону на две равные части. Это означает, что она разделит третью сторону на две равные части. То есть, длина от начала третьей стороны до точки, где медиана пересекает ее, будет равной половине длины медианы.

Мы можем найти длину медианы, используя формулу, которая связывает медиану и стороны треугольника. Формула для длины медианы треугольника, проведенной к стороне с длиной \(a\), выглядит следующим образом:

\[m = \frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}\]

где \(m\) - длина медианы, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

В данной задаче, нам даны две стороны треугольника - 3 и 4. Мы можем использовать данную формулу для нахождения длины медианы, проведенной к третьей стороне.

Подставляя значения в формулу, получим:

\[m = \frac{\sqrt{2\cdot3^2+2\cdot4^2-x^2}}{2}\]

Теперь, у нас есть уравнение, которое связывает длину медианы и длину третьей стороны треугольника. Мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение \(x\), и тем самым определить длину третьей стороны треугольника.

Продолжим решение уравнения:

\[\begin{align*}
m &= \frac{\sqrt{2\cdot3^2+2\cdot4^2-x^2}}{2} \\
2m &= \sqrt{2\cdot3^2+2\cdot4^2-x^2} \\
(2m)^2 &= 2\cdot3^2+2\cdot4^2-x^2 \\
4m^2 &= 18+32-x^2 \\
4m^2 &= 50-x^2 \\
x^2 &= 50 - 4m^2 \\
x &= \sqrt{50 - 4m^2}
\end{align*}\]

Теперь, мы можем найти длину третьей стороны треугольника, подставив значение \(m\) в данное уравнение.

Вот и все! Теперь у нас есть формула, которая позволяет найти длину третьей стороны треугольника, если она равна медиане, проведенной к этой стороне. Просто подставьте значение \(m\) (длины медианы) в уравнение \(x = \sqrt{50 - 4m^2}\), и вы получите искомую длину третьей стороны треугольника.