Как можно решить треугольник ABC, если известно, что длины его сторон AB, BC и CA равны соответственно 20, 14 и

Софья

69

Конечно! Мы можем решить треугольник ABC с использованием теоремы косинусов. Для этого нам понадобятся длины всех трех сторон треугольника: AB, BC и CA. Исходя из условия задачи, известно, что длины этих сторон равны 20, 14 и 18 соответственно.

Теорема косинусов гласит, что в треугольнике сторона, возведенная в квадрат, равна сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае, пусть угол B равен углу BAC, а точка D на стороне AC является основанием перпендикуляра, опущенного из вершины B на сторону AC.

Используя теорему косинусов, мы можем записать следующие уравнения:

$$A{B}^2=B{C}^2+C{A}^2-2\cdot BC\cdot CA\cdot \cos (B)$$ $$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (A)$$ $$B{C}^2=A{C}^2+C{A}^2-2\cdot AC\cdot CA\cdot \cos (C)$$

Давайте заменим известные значения в эти уравнения. Подставим AB = 20, BC = 14 и CA = 18:

$${20}^2={14}^2+{18}^2-2\cdot 14\cdot 18\cdot \cos (B)$$ $${18}^2={20}^2+{14}^2-2\cdot 20\cdot 14\cdot \cos (A)$$ $${14}^2={18}^2+{20}^2-2\cdot 18\cdot 20\cdot \cos (C)$$

Теперь мы можем решить каждое уравнение отдельно, чтобы найти значения косинусов углов и использовать их для дальнейших вычислений.

Первое уравнение:

$${20}^2={14}^2+{18}^2-2\cdot 14\cdot 18\cdot \cos (B)$$

Решим его:

$$400=196+324-504\cdot \cos (B)$$ $$400=520-504\cdot \cos (B)$$ $$504\cdot \cos (B)=520-400$$ $$504\cdot \cos (B)=120$$ $$\cos (B)=\frac{120}{504}=\frac{5}{21}$$

По аналогии, решим остальные два уравнения:

$${18}^2={20}^2+{14}^2-2\cdot 20\cdot 14\cdot \cos (A)$$ $$\cos (A)=\frac{24}{280}=\frac{3}{35}$$

$${14}^2={18}^2+{20}^2-2\cdot 18\cdot 20\cdot \cos (C)$$ $$\cos (C)=\frac{16}{720}=\frac{1}{45}$$

Теперь, зная значения косинусов углов, мы можем использовать их, чтобы найти значения самих углов. Для этого нам понадобится функция arccos, которая позволяет найти обратный косинус значения.

Найдем угол B:

$$B=\arccos \left(\frac{5}{21}\right)$$

Применим аналогичные шаги, чтобы найти углы A и C:

$$A=\arccos \left(\frac{3}{35}\right)$$ $$C=\arccos \left(\frac{1}{45}\right)$$

После нахождения углов A, B и C, мы успешно решили треугольник ABC с использованием теоремы косинусов.