Если косинус острого угла прямоугольной трапеции равен 84/85, то каков периметр трапеции, если меньшее основание равно

Skat

28

Чтобы найти периметр трапеции, нам необходимо знать длины всех ее сторон. Дано, что косинус острого угла трапеции равен \( \frac{84}{85} \). Мы можем использовать это знание для нахождения отношений между длиной сторон трапеции.

Пусть большее основание трапеции равно \( a \), а боковая сторона (меньшее основание) и высота равны \( b \). Так как меньшее основание равно высоте, то \( b = h \), где \( h \) - высота трапеции.

Мы также знаем, что косинус острого угла трапеции определен как отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В данном случае этими катетами являются \( b \) и \( a-b \), а гипотенузой является \( a \).

Таким образом, у нас есть соотношение:

\[
\cos(\text{{угол}}) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{b}}{{a}} = \frac{{84}}{{85}}
\]

Отсюда мы можем выразить \( b \) через \( a \):

\[
b = \frac{{84a}}{{85}}
\]

Теперь нам нужно найти длины оставшихся двух сторон трапеции. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника \(ABC\), где \(AC\) - гипотенуза, \(AB\) - одна из катетов, равная \(b\), и \(BC\) - другой катет, равный \(a-b\).

Согласно теореме Пифагора, верно следующее соотношение:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

Подставим значения \(AB\) и \(BC\):

\[
a^2 = \left(\frac{{84a}}{{85}}\right)^2 + (a - \frac{{84a}}{{85}})^2
\]

Теперь мы можем решить эту квадратичное уравнение относительно \(a\).

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[
a^2 = \frac{{7056a^2}}{{85^2}} + \left(a - \frac{{7056a}}{{85^2}}\right)^2
\]

\[
a^2 = \frac{{7056a^2}}{{7225}} + a^2 - \frac{{2 \cdot 7056a^2}}{{85 \cdot 85}} + \frac{{7056a}}{{85}} - \frac{{7056a}}{{85}}
\]

\[
0 = \frac{{7056a^2}}{{7225}} - \frac{{2 \cdot 7056a^2}}{{85 \cdot 85}} + \frac{{7056a}}{{85}} - \frac{{7056a}}{{85}}
\]

\[
0 = \frac{{7056a^2 \cdot 85 \cdot 85 - 2 \cdot 7056a^2 \cdot 85 \cdot 85 + 7056a \cdot 85 - 7056a \cdot 85}}{{7225}}
\]

\[
0 = \frac{{7056a^2 \cdot 85 - 7056a \cdot 85}}{{7225}}
\]

\[
0 = 7056a \cdot 85 (a - 1)
\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(a\): \(a = 0\) и \(a = 1\). Однако, у нас не может быть сторона равная нулю, поэтому \(a = 1\).

Теперь, когда мы знаем значение \(a\), мы можем найти значение \(b\) и \(h\):

\[
b = \frac{{84a}}{{85}} = \frac{{84 \cdot 1}}{{85}} = \frac{{84}}{{85}}
\]

\[
h = b = \frac{{84}}{{85}}
\]

Таким образом, меньшее основание и высота трапеции равны \( \frac{{84}}{{85}} \).

Теперь мы можем найти периметр трапеции. Сумма всех сторон трапеции равна:

\[
\text{{Периметр}} = 2b + a + (a - b) = 2 \left(\frac{{84}}{{85}}\right) + 1 + \left(1 - \frac{{84}}{{85}}\right)
\]

\[
\text{{Периметр}} = \frac{{2 \cdot 84}}{{85}} + 1 + \frac{{85 - 84}}{{85}} = \frac{{168 + 85 + 1}}{{85}} = \frac{{254}}{{85}} = \frac{{254}}{{17}}
\]

Итак, периметр данной трапеции равен \( \frac{{254}}{{17}} \).