Если множество, к которому принадлежит параметр а, определено, то функция f(x)=x^3+3x^2+6ax+5 возрастает при любых

Schuka

47

Здравствуйте! Давайте пошагово разберем данную задачу.

1. Нам дана функция f(x) = x^3 + 3x^2 + 6ax + 5.

2. Нам нужно определить, при каких значениях параметра а функция возрастает, то есть при каких значениях а ее значения увеличиваются при увеличении аргумента x.

3. Чтобы определить, когда функция возрастает, нам нужно найти ее производную и проанализировать ее знаки. Если производная положительна на всей области определения функции, то функция возрастает.

4. Найдем производную функции f(x). Для этого возьмем производную каждого слагаемого:

f"(x) = (d/dx) (x^3 + 3x^2 + 6ax + 5)
= 3x^2 + 6x + 6a.

5. Теперь проанализируем знаки производной f"(x) для различных значений а. Для этого рассмотрим два случая:

- Первый случай: а > 0.
В этом случае, чтобы узнать знак производной, мы можем проанализировать знаки коэффициентов. Коэффициенты 3 и 6 всегда положительны, а значит производная f"(x) всегда положительна. Следовательно, функция возрастает для любых значений x.

- Второй случай: а ≤ 0.
В этом случае проанализируем знаки производной f"(x) для x равных нулю и для x стремящихся к плюс или минус бесконечности:
* При x = 0, получаем f"(0) = 6a. Так как мы предполагаем, что а ≤ 0, то f"(0) ≤ 0 для любого а, так как произведение неотрицательного числа на отрицательное или нулевое число будет неотрицательным или нулевым.
* При x → ± ∞, коэффициенты 3 и 6 играют более важную роль по сравнению с 6a. Поскольку 3x^2 и 6x стремятся к плюс или минус бесконечности, а коэффициенты положительны, то для определенных значений а f"(x) будет положительной. Однако, поскольку мы предполагаем, что а ≤ 0, то результат положительный только при a = 0.
* Значит, если а ≤ 0, то производная может менять свой знак при некоторых значениях x, следовательно, функция не будет возрастать при всех значениях x.

6. В результате, функция f(x) = x^3 + 3x^2 + 6ax + 5 возрастает при любых значениях параметра а, если а > 0. Если же а ≤ 0, то она не является возрастающей функцией.

Надеюсь, это подробное пошаговое решение помогло вам понять задачу! Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!