Если на интервале (a;b) выполнено условие f / (x)> 0, то какое из следующих утверждений будет верным: a. Функция

Boris

43

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте вспомним определение возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости функций на интервале.

1. Функция \(f(x)\) называется возрастающей на интервале \((a;b)\), если для любых двух точек \(x_1\) и \(x_2\) из этого интервала, где \(x_1 < x_2\), выполняется неравенство \(f(x_1) < f(x_2)\).

2. Функция \(f(x)\) называется убывающей на интервале \((a;b)\), если для любых двух точек \(x_1\) и \(x_2\) из этого интервала, где \(x_1 < x_2\), выполняется неравенство \(f(x_1) > f(x_2)\).

3. Функция \(f(x)\) называется выпуклой на интервале \((a;b)\), если для любых двух точек \(x_1\) и \(x_2\) из этого интервала и для любого числа \(t\) от 0 до 1, выполняется неравенство \(f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\).

4. Функция \(f(x)\) называется вогнутой на интервале \((a;b)\), если для любых двух точек \(x_1\) и \(x_2\) из этого интервала и для любого числа \(t\) от 0 до 1, выполняется неравенство \(f(tx_1 + (1-t)x_2) \geq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)\).

Теперь, если на интервале \((a;b)\) выполнено условие \(\frac{f}{x} > 0\), то знак этого выражения не может быть отрицательным, поскольку деление на положительное число дает положительный результат. Значит, функция \(f(x)\) не равна нулю на интервале \((a;b)\).

Из определений возрастания и убывания следует, что если функция не равна нулю на интервале, то она не может одновременно возрастать и убывать. Таким образом, исключаются варианты ответов a и c.

Осталось разобраться с выпуклостью и вогнутостью функции. Если на интервале \((a;b)\) выполняется условие \(\frac{f}{x} > 0\), это означает, что производная функции \(f"(x)\) положительна для всех значений \(x\) из этого интервала. Вспомним, что производная функции \(f"(x)\) характеризует направление изменения функции.

Если производная положительна на интервале \((a;b)\), то функция \(f(x)\) наклонена вверх (выпукла) на этом интервале. Таким образом, можно сделать вывод, что функция \(f(x)\) выпукла на данном интервале. Ответ b - функция выпукла на данном интервале - будет верным ответом.

Итак, правильный ответ на данную задачу: b. Функция выпукла на данном интервале.