Если острый угол трапеции составляет 30°, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 8, то какова площадь трапеции

Zmeya

65

Чтобы решить задачу, давайте вспомним формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

где \(S\) - площадь трапеции, \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота трапеции.

Мы знаем, что острый угол трапеции составляет 30°, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 8. Поскольку это острый угол, он расположен между боковой стороной и одним из оснований трапеции.

Пусть \(x\) - это длина основания трапеции, которое находится напротив острого угла. Тогда другое основание трапеции будет иметь длину \(x + 8\) (поскольку сумма оснований равна).

Для решения задачи нам нужно найти площадь трапеции. Мы знаем, что высота трапеции равна расстоянию от одного основания до другого, проходящего через острый угол трапеции. Чтобы найти высоту, давайте воспользуемся тригонометрией.

В прямоугольном треугольнике, образованном основанием трапеции, высотой трапеции и боковой стороной, мы знаем, что острый угол равен 30°, а противоположная сторона (высота трапеции) еще неизвестна. Мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением, чтобы найти высоту:

\[\sin 30° = \frac{{h}}{{8}}\]

Решим это уравнение для \(h\):

\[h = 8 \cdot \sin 30°\]

Мы знаем, что \(\sin 30° = \frac{{1}}{{2}}\), поэтому:

\[h = 8 \cdot \frac{{1}}{{2}} = 4\]

Теперь у нас есть высота трапеции (\(h = 4\)) и длины оснований (\(a = x\), \(b = x + 8\)). Мы можем подставить эти значения в формулу площади трапеции:

\[S = \frac{{x + (x + 8)}}{2} \cdot 4\]

Упростим выражение:

\[S = \frac{{2x + 8}}{2} \cdot 4\]
\[S = (x + 4) \cdot 4\]
\[S = 4x + 16\]

Таким образом, площадь трапеции равна \(4x + 16\), где \(x\) - длина основания трапеции.