Если площадь равнобедренного прямоугольного треугольника составляет 22,5, то какова длина гипотенузы? решать

Krasavchik

12

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать связь между площадью прямоугольного треугольника и его сторонами.

Итак, у нас имеется равнобедренный прямоугольный треугольник, что означает, что две его стороны равны. Обозначим эти стороны через \(a\) и \(b\), а гипотенузу через \(c\).

Также помним формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{{a \cdot b}}{2}\]

В нашей задаче площадь равна 22,5, так что мы можем записать:

\[22,5 = \frac{{a \cdot b}}{2}\]

Чтобы найти длину гипотенузы \(c\), нам нужно использовать теорему Пифагора, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае \(a = b\), так что мы можем записать:

\[c^2 = 2a^2\]

Теперь объединим оба уравнения:

\[2a^2 = c^2\]

Мы хотим найти длину гипотенузы \(c\), поэтому возьмем корень от обеих частей уравнения:

\[\sqrt{2a^2} = \sqrt{c^2}\]

\[a\sqrt{2} = c\]

Таким образом, мы получаем, что длина гипотенузы равна \(c = a\sqrt{2}\).

Но у нас есть еще одно уравнение, связанное с площадью треугольника, а именно:

\[22,5 = \frac{{a \cdot a}}{2}\]

Упростим это уравнение:

\[22,5 = \frac{{a^2}}{2}\]

Чтобы избавиться от деления на 2, умножим обе части уравнения на 2:

\[45 = a^2\]

Теперь найдем значение \(a\), возведя обе части уравнения в квадрат:

\[a = \sqrt{45}\]

Выразим длину гипотенузы \(c\) через \(a\):

\[c = a\sqrt{2} = \sqrt{45} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{90}\]

Таким образом, длина гипотенузы равна \(\sqrt{90}\).

Важно отметить, что \(\sqrt{90}\) может быть упрощено. Повторно разложим число 90 на множители:

\[90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\]

Теперь можем взять квадратные корни каждого множителя и упростить ответ:

\[\sqrt{90} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{2}\sqrt{5} = 3\sqrt{10}\]

Итак, длина гипотенузы равна \(3\sqrt{10}\).