Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Один путник отправляется в путь от города к дому и ему требуется 17 дней на это

Михаил

2

Чтобы найти время, через которое эти два путника встретятся, нам необходимо решить задачу взаимной работы. Давайте представим, что это расстояние между городом и домом — \(d\) единиц.

Анализируя условие задачи, мы видим, что первый путешественник проходит это расстояние за 17 дней, а второй путешественник — за 20 дней. Значит, первый путешественник каждый день проходит \(d/17\) единиц расстояния, а второй — \(d/20\) единиц расстояния.

Так как оба путешественника стартовали в одно и то же время, мы можем предположить, что за \(t\) дней после старта они встретятся. В течение этих \(t\) дней первый путешественник прошел \(\frac{d}{17} \cdot t\) единиц расстояния, а второй путешественник прошел \(\frac{d}{20} \cdot t\) единиц расстояния.

Так как они встретились, то сумма пройденного расстояния каждым путешественником должна быть равна расстоянию между городом и домом (\(d\)):

\(\frac{d}{17} \cdot t + \frac{d}{20} \cdot t = d\)

Теперь мы можем решить этое уравнение относительно \(t\).

Сначала приведём оба слагаемых к общему знаменателю:

\(\frac{20d}{17 \cdot 20} \cdot t + \frac{17d}{17 \cdot 20} \cdot t = d\)

Упростим выражение:

\(\frac{20d + 17d}{17 \cdot 20} \cdot t = d\)

Раскроем скобки:

\(\frac{37d}{17 \cdot 20} \cdot t = d\)

Теперь избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на \(17 \cdot 20\):

\(\frac{37d}{17 \cdot 20} \cdot t \cdot 20 \cdot 17 = d \cdot 17 \cdot 20\)

Сократим дробь:

\(\frac{37d}{1} \cdot t \cdot 20 \cdot 17 = d \cdot 17 \cdot 20\)

Упростим выражение:

\(37dt = dt\)

Теперь разделим обе части уравнения на \(dt\), сокращая \(d\) на каждой стороне:

\(37t = t\)

Теперь у нас простое уравнение, где \(t\) — это число дней, через которое путешественники встретятся.

Очевидно, что \(t\) может быть любым положительным числом, если мы предположим, что расстояние \(d\) больше нуля.

Таким образом, путники встретятся через любое количество дней, если только они стартовали в одно и то же время и их скорости не изменяются на протяжении пути.