Если радиус описанной около правильного многоугольника окружности равен 3 2 ​, то какова длина стороны многоугольника

Добрый_Ангел

51

Для начала разберемся, что означают описанная и вписанная окружности в правильном многоугольнике.

Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра этой окружности до любой вершины многоугольника. Из условия задачи известно, что радиус описанной окружности равен \(3\sqrt{2}\).

Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон многоугольника внутренним касанием. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра этой окружности до любой стороны многоугольника.

Теперь рассмотрим правильный многоугольник с описанной окружностью радиусом \(3\sqrt{2}\). Пусть \(n\) - количество сторон этого многоугольника, и \(s\) - длина каждой стороны.

Для правильного многоугольника с \(n\) сторонами справедлива следующая формула связи радиусов описанной и вписанной окружностей:

\[R = \frac{s}{2\sin(\frac{\pi}{n})}\]

где \(R\) - радиус описанной окружности.

Мы знаем, что радиус описанной окружности равен \(3\sqrt{2}\). Подставим это значение в формулу и решим ее относительно длины стороны \(s\):

\[3\sqrt{2} = \frac{s}{2\sin(\frac{\pi}{n})}\]

Умножим обе части на \(2\sin(\frac{\pi}{n})\):

\[6\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{n}) = s\]

Таким образом, мы получили выражение для длины стороны многоугольника через радиус описанной окружности:

\[s = 6\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{n})\]

Теперь, если радиус вписанной окружности также равен \(r\), то для вписанной окружности справедлива аналогичная формула:

\[r = \frac{s}{2\tan(\frac{\pi}{n})}\]

Подставим значение длины стороны \(s\) из предыдущей формулы:

\[r = \frac{6\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{n})}{2\tan(\frac{\pi}{n})}\]

Упростим это выражение:

\[r = 3\sqrt{2}\cot(\frac{\pi}{n})\]

Теперь выражение для радиуса вписанной окружности связано с радиусом описанной окружности и углом \(\frac{\pi}{n}\).

В итоге, если радиус описанной окружности равен \(3\sqrt{2}\), то радиус вписанной окружности равен \(3\sqrt{2}\cot(\frac{\pi}{n})\).