Если расстояние между точками касания со вписанной и соответствующей вневписанной окружностью на стороне

Пуфик_3727

5

Для решения данной задачи, давайте вначале рассмотрим треугольник ABC и некоторые его свойства.

Пусть O - центр вписанной окружности, которая касается стороны AB в точке D, стороны BC в точке E и стороны AC в точке F. Пусть также I - центр вневписанной окружности, которая касается стороны AB в точке P, стороны BC в точке Q и стороны AC в точке R.

Теперь давайте рассмотрим расстояние между точками касания на стороне BC. По условию оно равно 2, поэтому можно записать следующее:

BE = 2,
BC = 10,
CE = BC - BE = 10 - 2 = 8.

Отметим, что треугольники OBD и IBE подобны, так как у них углы B одинаковые и угол DBE является общим. Следовательно, можно установить пропорцию:

\(\frac{{OB}}{{IB}} = \frac{{BD}}{{BE}}\).

Также, треугольники OCE и IRE подобны, так как у них углы C одинаковые и угол ECR является общим. Следовательно, можно установить пропорцию:

\(\frac{{OC}}{{IC}} = \frac{{CE}}{{RE}}\).

Теперь, чтобы определить длину стороны AC, нужно найти выражение для RE.

Мы знаем, что расстояние между точками касания на стороне AC равно 3, поэтому можно записать следующее:

AR = 3,
AC - AR = RC.

Подставляем найденные значения во вторую пропорцию:

\(\frac{{OC}}{{IC}} = \frac{{CE}}{{RC - RE}}\).

Осталось найти AC, используя данные из условия задачи.

Подставим значения BC = 10, BE = 2, и CE = 8 в первую пропорцию:

\(\frac{{OB}}{{IB}} = \frac{{BD}}{{2}}\).

Очевидно, что OB + BD = 10, поэтому можем записать:

\(\frac{{OB}}{{IB}} = \frac{{10 - OB}}{{2}}\).

Из этого следует:

2OB = 10 - OB,
3OB = 10,

OB = \(\frac{{10}}{{3}}\).

Зная значение OB, можем найти OD, так как OB + BD = 10:

OD = 10 - OB = 10 - \(\frac{{10}}{{3}}\) = \(\frac{{20}}{{3}}\).

Теперь, используя формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности, найдём значение площади треугольника ABC:

S = r * p,
где r - радиус вписанной окружности, а p - полупериметр треугольника ABC.

Найдем полупериметр треугольника ABC:

p = \(\frac{{AB + BC + AC}}{{2}}\) = \(\frac{{BC + AC}}{{2}}\) = \(\frac{{10 + AC}}{{2}}\).

Теперь найдем радиус вписанной окружности r:

r = \(\frac{{S}}{{p}}\) = \(\frac{{S}}{{\frac{{10 + AC}}{{2}}}}\).

Сравнивая рецепты пирога, давайте воспользуемся известным выражением для площади S через длины сторон треугольника ABC - формула Герона:

S = \(\sqrt{{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}}\) = \(\sqrt{{p(p - 10)(p - AC)}}\),

где p = \(\frac{{10 + AC}}{{2}}\).

Теперь можно записать радиус вписанной окружности через длину стороны AC:

r = \(\frac{{\sqrt{{\frac{{10 + AC}}{{2}} \cdot (\frac{{10 + AC}}{{2}} - 10) \cdot (\frac{{10 + AC}}{{2}} - AC)}}}}{{\frac{{10 + AC}}{{2}}}}\).

Теперь, подставим значения BE = 2 и CE = 8 во вторую пропорцию:

\(\frac{{OC}}{{IC}} = \frac{{8}}{{RC - RE}}\).

Заметим, что \(OC = r\), а \(IC = RE + RC\), поэтому можем записать:

\(\frac{{r}}{{RE + RC}} = \frac{{8}}{{RC - RE}}\).

Упростим это уравнение:

r(RC - RE) = 8(RE + RC),

RC(r - 8) = RE(r + 8),

\(\frac{{RC}}{{RE}} = \frac{{r + 8}}{{r - 8}}\).

Таким образом, мы получили два уравнения:

\(\frac{{OC}}{{IC}} = \frac{{8}}{{RC - RE}}\), и \(\frac{{RC}}{{RE}} = \frac{{r + 8}}{{r - 8}}\).

Теперь, мы можем объединить эти два уравнения, подставив значение \(OC = r\) и \(IC = RE + RC\):

\(\frac{{r}}{{RE + RC}} = \frac{{8}}{{RC - RE}} = \frac{{r + 8}}{{r - 8}}\).

Сделаем замену переменных: \(x = RE\) и \(y = RC\). Тогда уравнение примет вид:

\(\frac{{r}}{{x + y}} = \frac{{8}}{{y - x}} = \frac{{r + 8}}{{r - 8}}\).

Упростим это уравнение:

ry - rx = 8x + 8y,

ry - 8x - 8y = rx,

r(y - 8) = x(r + 8),

\(\frac{{y - 8}}{{x}} = \frac{{r + 8}}{{r}}\).

Теперь, мы можем обратиться к первому уравнению:

\(\frac{{r}}{{x + y}} = \frac{{8}}{{y - x}}\).

Упростим это уравнение:

r(y - x) = 8(x + y),

ry - rx = 8x + 8y,

ry - 8y = rx + 8x,

y(r - 8) = x(r + 8).

Рекурсия, движемся дальше!

\(\frac{{y}}{{x}} = \frac{{r + 8}}{{r - 8}}\).

Таким образом, у нас имеются две системы уравнений:

\(r(y - 8) = x(r + 8)\), и \(y(r - 8) = x(r + 8)\).

Теперь нам нужно решить эти системы уравнений относительно r, x и y.

1. Система уравнений \(r(y - 8) = x(r + 8)\) и \(y(r - 8) = x(r + 8)\):

\(y(r - 8) = x(r + 8)\),
\(ry - 8y = rx + 8x\).

Перепишем в виде:

\(ry - rx = 8x + 8y\),
\(ry - 8y = rx + 8x\).

Вычтем первое уравнение из второго:

\(0 = 16x - 16y\),
\(x = y\).

Подставим значение x в первое уравнение:

\(r(y - 8) = x(r + 8)\),
\(r(y - 8) = y(r + 8)\).

Разделим на y:

\(r - 8 = r + 8\),
\(r = 16\).

Таким образом, мы получаем r = 16 и x = y.

Теперь, возвращаемся к выражению для AC:

AC = BC - AB = 10 - x.

Подставим значение x:

AC = 10 - x = 10 - y.

Таким образом, мы получаем AC = 10 - y.

Теперь, нам нужно определить все возможные значения стороны AC. Ранее мы нашли, что r = 16 и x = y.

Подставим значения в AC:

AC = 10 - y = 10 - x = 10 - 16 = -6.

Однако, отрицательное значение для длины стороны AC не имеет смысла в данной задаче, поэтому можно сделать вывод, что на самом деле нет решения для данной задачи. Невозможно определить все возможные значения стороны AC при заданных условиях.