Если расстояние между точками касания со вписанной и соответствующей вневписанной окружностью на стороне

Пуфик_3727

5

Для решения данной задачи, давайте вначале рассмотрим треугольник ABC и некоторые его свойства.

Пусть O - центр вписанной окружности, которая касается стороны AB в точке D, стороны BC в точке E и стороны AC в точке F. Пусть также I - центр вневписанной окружности, которая касается стороны AB в точке P, стороны BC в точке Q и стороны AC в точке R.

Теперь давайте рассмотрим расстояние между точками касания на стороне BC. По условию оно равно 2, поэтому можно записать следующее:

BE = 2,
BC = 10,
CE = BC - BE = 10 - 2 = 8.

Отметим, что треугольники OBD и IBE подобны, так как у них углы B одинаковые и угол DBE является общим. Следовательно, можно установить пропорцию:

$\frac{OB}{IB}=\frac{BD}{BE}$.

Также, треугольники OCE и IRE подобны, так как у них углы C одинаковые и угол ECR является общим. Следовательно, можно установить пропорцию:

$\frac{OC}{IC}=\frac{CE}{RE}$.

Теперь, чтобы определить длину стороны AC, нужно найти выражение для RE.

Мы знаем, что расстояние между точками касания на стороне AC равно 3, поэтому можно записать следующее:

AR = 3,
AC - AR = RC.

Подставляем найденные значения во вторую пропорцию:

$\frac{OC}{IC}=\frac{CE}{RC-RE}$.

Осталось найти AC, используя данные из условия задачи.

Подставим значения BC = 10, BE = 2, и CE = 8 в первую пропорцию:

$\frac{OB}{IB}=\frac{BD}{2}$.

Очевидно, что OB + BD = 10, поэтому можем записать:

$\frac{OB}{IB}=\frac{10-OB}{2}$.

Из этого следует:

2OB = 10 - OB,
3OB = 10,

OB = $\frac{10}{3}$.

Зная значение OB, можем найти OD, так как OB + BD = 10:

OD = 10 - OB = 10 - $\frac{10}{3}$ = $\frac{20}{3}$.

Теперь, используя формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности, найдём значение площади треугольника ABC:

S = r * p,
где r - радиус вписанной окружности, а p - полупериметр треугольника ABC.

Найдем полупериметр треугольника ABC:

p = $\frac{AB+BC+AC}{2}$ = $\frac{BC+AC}{2}$ = $\frac{10+AC}{2}$.

Теперь найдем радиус вписанной окружности r:

r = $\frac{S}{p}$ = $\frac{S}{\frac{10+AC}{2}}$.

Сравнивая рецепты пирога, давайте воспользуемся известным выражением для площади S через длины сторон треугольника ABC - формула Герона:

S = $\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$ = $\sqrt{p(p-10)(p-AC)}$,

где p = $\frac{10+AC}{2}$.

Теперь можно записать радиус вписанной окружности через длину стороны AC:

r = $\frac{\sqrt{\frac{10+AC}{2}\cdot (\frac{10+AC}{2}-10)\cdot (\frac{10+AC}{2}-AC)}}{\frac{10+AC}{2}}$.

Теперь, подставим значения BE = 2 и CE = 8 во вторую пропорцию:

$\frac{OC}{IC}=\frac{8}{RC-RE}$.

Заметим, что $OC=r$, а $IC=RE+RC$, поэтому можем записать:

$\frac{r}{RE+RC}=\frac{8}{RC-RE}$.

Упростим это уравнение:

r(RC - RE) = 8(RE + RC),

RC(r - 8) = RE(r + 8),

$\frac{RC}{RE}=\frac{r+8}{r-8}$.

Таким образом, мы получили два уравнения:

$\frac{OC}{IC}=\frac{8}{RC-RE}$, и $\frac{RC}{RE}=\frac{r+8}{r-8}$.

Теперь, мы можем объединить эти два уравнения, подставив значение $OC=r$ и $IC=RE+RC$:

$\frac{r}{RE+RC}=\frac{8}{RC-RE}=\frac{r+8}{r-8}$.

Сделаем замену переменных: $x=RE$ и $y=RC$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{r}{x+y}=\frac{8}{y-x}=\frac{r+8}{r-8}$.

Упростим это уравнение:

ry - rx = 8x + 8y,

ry - 8x - 8y = rx,

r(y - 8) = x(r + 8),

$\frac{y-8}{x}=\frac{r+8}{r}$.

Теперь, мы можем обратиться к первому уравнению:

$\frac{r}{x+y}=\frac{8}{y-x}$.

Упростим это уравнение:

r(y - x) = 8(x + y),

ry - rx = 8x + 8y,

ry - 8y = rx + 8x,

y(r - 8) = x(r + 8).

Рекурсия, движемся дальше!

$\frac{y}{x}=\frac{r+8}{r-8}$.

Таким образом, у нас имеются две системы уравнений:

$r(y-8)=x(r+8)$, и $y(r-8)=x(r+8)$.

Теперь нам нужно решить эти системы уравнений относительно r, x и y.

1. Система уравнений $r(y-8)=x(r+8)$ и $y(r-8)=x(r+8)$:

$y(r-8)=x(r+8)$,
$ry-8y=rx+8x$.

Перепишем в виде:

$ry-rx=8x+8y$,
$ry-8y=rx+8x$.

Вычтем первое уравнение из второго:

$0=16x-16y$,
$x=y$.

Подставим значение x в первое уравнение:

$r(y-8)=x(r+8)$,
$r(y-8)=y(r+8)$.

Разделим на y:

$r-8=r+8$,
$r=16$.

Таким образом, мы получаем r = 16 и x = y.

Теперь, возвращаемся к выражению для AC:

AC = BC - AB = 10 - x.

Подставим значение x:

AC = 10 - x = 10 - y.

Таким образом, мы получаем AC = 10 - y.

Теперь, нам нужно определить все возможные значения стороны AC. Ранее мы нашли, что r = 16 и x = y.

Подставим значения в AC:

AC = 10 - y = 10 - x = 10 - 16 = -6.

Однако, отрицательное значение для длины стороны AC не имеет смысла в данной задаче, поэтому можно сделать вывод, что на самом деле нет решения для данной задачи. Невозможно определить все возможные значения стороны AC при заданных условиях.