Если расстояние от центра до хорды увеличилось с 6 до 9, на сколько уменьшилась длина хорды в окружности О радиусом

Капля

16

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать связь между радиусом окружности (\(R\)) и длиной хорды (\(d\)).

Сначала мы знаем, что расстояние от центра до хорды представляет собой перпендикуляр из центра окружности до хорды, и оно равно половине длины хорды. Поэтому, если расстояние увеличилось с 6 до 9, длина хорды увеличилась на \(2 \cdot 3 = 6\) единиц.

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного двумя радиусами окружности и хордой, мы можем найти новую длину хорды при новом расстоянии от центра до хорды.

Обозначим новую длину хорды как \(d"\). Тогда, по теореме Пифагора, выполняется следующее уравнение:

\[R^2 = \left(\frac{d"}{2}\right)^2 + 6^2\]

Теперь решим это уравнение для \(d"\):

\[R^2 = \frac{d"^2}{4} + 36\]

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[4R^2 = d"^2 + 144\]

Выразим \(d"^2\):

\[d"^2 = 4R^2 - 144\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[d" = \sqrt{4R^2 - 144}\]

Таким образом, мы получили выражение для новой длины хорды, зависящей от радиуса окружности. Подставляя \(R = 9\) в формулу, мы можем найти искомую длину хорды.