Если сторона куба равна 6, то каков объем шара, который касается всех граней этого куба?

Таисия

45

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем диагональ куба.
Куб имеет 6 граней, и каждая грань является квадратом со стороной 6. Используя теорему Пифагора для квадрата диагональю, можно найти диагональ куба. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. В данном случае длина каждого катета равна 6 (длина стороны куба), поэтому диагональ куба будет равна:

\[\text{Диагональ} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} \approx 8.485\]

Шаг 2: Найдем радиус шара.
Так как шар касается всех граней куба, это означает, что диаметр шара равен диагонали куба. Так как диаметр равен двум радиусам, радиус шара будет равен половине диагонали куба:

\[\text{Радиус} = \frac{\text{Диагональ}}{2} = \frac{\sqrt{72}}{2} = \frac{8.485}{2} = 4.242\]

Шаг 3: Найдем объем шара.
Объем шара можно найти с помощью формулы:

\[\text{Объем} = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Подставим значение радиуса, которое мы получили:

\[\text{Объем} = \frac{4}{3} \pi (4.242)^3 = \frac{4}{3} \pi 75.99 \approx 100.530\]

Таким образом, объем шара, который касается всех граней этого куба, составляет примерно 100.530 кубических единиц.