Если только 10% раковин содержат жемчужину, то какова вероятность того, что из 7 добытых раковин не более 2 будут

Kirill

38

Давайте решим задачу по порядку. Мы знаем, что только 10% раковин содержат жемчужины, так что вероятность найти жемчужину в одной раковине равна 0.1.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда мы добываем 7 раковин. Нам нужно найти вероятность того, что не более 2 из этих раковин будут содержать жемчужину.

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Формула для биномиального распределения имеет вид:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\],

где \(P(X=k)\) - вероятность того, что из \(n\) идентичных и независимых испытаний успех произойдет \(k\) раз, \(p\) - вероятность успеха в одном испытании, \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\).

В нашем случае, \(n=7\), \(p=0.1\) и нам нужно найти вероятность того, что \(k\) (количество раковин с жемчужиной) не будет превышать 2.

Теперь найдем вероятность для каждого значения \(k\) (от 0 до 7) и сложим их, чтобы получить искомую вероятность:

\[P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\].

То есть, чтобы найти вероятность того, что из 7 раковин не более 2 будут содержать жемчужину, мы должны взять сумму вероятностей для \(k = 0\), \(k = 1\) и \(k = 2\).

Давайте найдем эти вероятности:

\[P(X = 0) = C_7^0 \cdot 0.1^0 \cdot (1-0.1)^7 = 1 \cdot 1 \cdot 0.9^7 = 0.9^7\].

\[P(X = 1) = C_7^1 \cdot 0.1^1 \cdot (1-0.1)^6 = 7 \cdot 0.1 \cdot 0.9^6\].

\[P(X = 2) = C_7^2 \cdot 0.1^2 \cdot (1-0.1)^5 = 21 \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^5\].

Теперь сложим эти вероятности:

\[P(X \le 2) = 0.9^7 + 7 \cdot 0.1 \cdot 0.9^6 + 21 \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^5\].

Теперь давайте найдем значение выражения \(\frac{{10^5 \cdot p}}{{9^5}}\). Значение \(p\) равно 0.1, поэтому подставим 0.1 в выражение:

\(\frac{{10^5 \cdot 0.1}}{{9^5}}\).

Надо вычислить это выражение:

\(\frac{{10^5 \cdot 0.1}}{{9^5}} = \frac{{100000 \cdot 0.1}}{{9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}} = \frac{{10000}}{{9^5}}\).

Таким образом, значение выражения \(\frac{{10^5 \cdot p}}{{9^5}}\) равно \(\frac{{10000}}{{9^5}}\).

Надеюсь, это подробное объяснение было полезным и понятным! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.