Если треугольник АВС вписан в окружность так, что АС - диаметр, а вершина В лежит на окружности, то каково отношение

Krokodil

61

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать свойства вписанного угла и взаимосвязь между биссектрисой и высотой треугольника.

Первое, что нам нужно знать, - это то, что вписанный угол (угол между хордой и дугой, дуга допирает эту хорду) равен половине центрального угла, опирающегося на эту же дугу. В данном случае, если АС является диаметром окружности, то угол BAC будет прямым углом ($\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$).

Также важно помнить, что биссектриса угла является отрезком, который делит угол на две равные части. В нашем случае, это биссектриса угла BAC. Пусть точка пересечения этой биссектрисы с стороной BC обозначается как точка H.

Теперь мы можем приступить к решению задачи. Нам нужно найти отношение высоты ВН к катету AB.

Давайте обозначим длину высоты BH как h, а длину катета AB как a.

Используя свойства вписанного угла, мы можем сказать, что угол BAC равен половине центрального угла BOА, где O - центр окружности. Таким образом, $\mathrm{\angle }BAC=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BOA$.

Причем, биссектриса BH является высотой, а значит, противоположный угол $\mathrm{\angle }BAH$ будет равным половине угла ВОА: $\mathrm{\angle }BAH=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BOA$.

Теперь у нас есть два равных угла - $\mathrm{\angle }BAC$ и $\mathrm{\angle }BAH$, и две пары равных сторон - AB и BH, AC и OC (так как О - центр окружности, OC - радиус окружности).

Исходя из свойств подобных треугольников, мы можем сказать, что треугольник ABC подобен треугольнику OBA. Таким образом, отношение высоты BH к катету AB будет таким же, как отношение высоты OC к катету OA.

Мы знаем, что OC - радиус окружности, а OA - половина диаметра, то есть радиус. Исходя из конструкции задачи, мы знаем, что AC является диаметром, поэтому OC равен AC/2.

Поэтому отношение высоты BH к катету AB будет равно отношению высоты OC к катету OA: $\frac{BH}{AB}=\frac{OC}{OA}$.

Теперь, зная, что OC = AC/2 и OA = AC, мы можем записать отношение высоты BH к катету AB следующим образом: $\frac{BH}{AB}=\frac{AC/2}{AC}=\frac{1}{2}$.

Таким образом, отношение высоты BH к катету AB равно $\frac{1}{2}$, то есть $\frac{BH}{AB}=\frac{1}{2}$.

Итак, окончательный ответ: отношение высоты ВН к катету АВ равно $\frac{1}{2}$.