Если угол C в треугольнике ABC равен 90 градусов и синус угла BAC равен 2/3, то найдите значение AC, если AB

Morskoy_Skazochnik

49

Хорошо! Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что угол C в треугольнике ABC равен 90 градусов, что делает данный треугольник прямоугольным. Задача состоит в определении значения стороны AC, если известен синус угла BAC, который равен 2/3.

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться теоремой синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - соответствующие углы треугольника.

В данном случае у нас есть угол BAC и его синус, а также известно, что угол C равен 90 градусов. Из этого следует, что \(\sin C = 1\).

Мы можем заменить известные значения в формуле синусов и решить ее относительно стороны AC:

\[\frac{AC}{\sin BAC} = \frac{BC}{\sin C} \Rightarrow \frac{AC}{\frac{2}{3}} = \frac{BC}{1}\]

Мы знаем, что \(\sin BAC = \frac{2}{3}\) и \(\sin C = 1\), поэтому можем продолжить решение задачи:

\[\frac{AC}{\frac{2}{3}} = \frac{BC}{1} \Rightarrow AC = \frac{2}{3} \cdot BC\]

Так как треугольник ABC является прямоугольным, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где c - гипотенуза (сторона противоположная прямому углу), a и b - катеты (оставшиеся две стороны).

В нашем случае, гипотенуза это сторона AC, а катеты - стороны AB и BC.

Мы можем переписать формулу Пифагора подставляя известные значения:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Теперь мы можем заменить AC в формуле синусов на \(AC = \frac{2}{3} \cdot BC\):

\[(\frac{2}{3} \cdot BC)^2 = AB^2 + BC^2\]

Раскроем скобки:

\[\frac{4}{9} \cdot BC^2 = AB^2 + BC^2\]

Теперь вычтем \(BC^2\) из обеих сторон уравнения:

\[\frac{4}{9} \cdot BC^2 - BC^2 = AB^2\]

\[\frac{4}{9} \cdot BC^2 - \frac{9}{9} \cdot BC^2 = AB^2\]

\[-\frac{5}{9} \cdot BC^2 = AB^2\]

Мы можем заметить, что AB^2 является положительным числом, поэтому чтобы избавиться от отрицательного знака, нужно умножить обе части уравнения на -1:

\[\frac{5}{9} \cdot BC^2 = -AB^2\]

Теперь мы можем найти значение стороны AC, если значение стороны AB известно. Если величина AB равна \(x\), то у нас будет следующее:

\[\frac{5}{9} \cdot BC^2 = -x^2\]

Чтобы избавиться от дроби, мы можем умножить обе части уравнения на \(\frac{9}{5}\):

\[BC^2 = -\frac{9}{5} \cdot x^2\]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[(BC^2)^2 = (-\frac{9}{5} \cdot x^2)^2\]

\[BC^4 = (\frac{9}{5})^2 \cdot x^4\]

Теперь мы можем избавиться от BC^4, подставляя его в формулу:

\[\frac{2}{3} \cdot BC = x\]

\[\frac{2}{3} \cdot BC^4 = x^4\]

Заменим также \(x\) на \(AB\):

\[\frac{2}{3} \cdot BC^4 = AB^4\]

Наконец, мы можем решить уравнение относительно значения стороны AC:

\[AC = \sqrt[4]{\frac{2}{3} \cdot BC^4}\]

Это окончательный ответ на задачу. Значение стороны AC равно \(\sqrt[4]{\frac{2}{3} \cdot BC^4}\), где \(BC\) является значением противоположной катету \(AB\) стороны треугольника ABC.