Если в треугольнике АВС известно, что сторона АВ равна 5 см, сторона ВС равна 4 см, а площадь треугольника равна

Тимур

10

Давайте разберем эту задачу по шагам для полного понимания.

1. Известно, что сторона AB равна 5 см и сторона BC равна 4 см.
2. Нам также известно, что площадь треугольника ABC равна 5√3 см².
3. Формула для площади треугольника, использующая длины двух сторон и синус угла между ними, имеет вид: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)\]
4. Подставим известные значения: \[5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin(\angle ABC)\]
5. Упростим выражение: \[\sqrt{3} = 2 \cdot \sin(\angle ABC)\]
6. Разделим обе части уравнения на 2: \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\angle ABC)\]
7. Так как угол В является острым, синус этого угла будет положительным числом.
8. Из таблицы значений синуса мы знаем, что \(\sin(\angle ABC) = \frac{1}{2}\) соответствует углу 30 градусов.
9. Таким образом, \(\angle ABC = 30^\circ\).
10. Для нахождения третьей стороны треугольника, длину AC, мы можем использовать теорему косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\]
11. Подставляем известные значения: \[AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ)\]
12. Упростим выражение: \[AC^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \cos(30^\circ)\]
13. Используем таблицу значений косинуса: \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
14. Продолжаем вычисления: \[AC^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
15. Упростим выражение и вычислим: \[AC^2 = 25 + 16 - 20\sqrt{3}\]
16. Наконец, найдем значение AC, взяв квадратный корень из обеих частей уравнения: \[AC = \sqrt{25 + 16 - 20\sqrt{3}}\]
17. После сокращений и вычислений получим окончательный ответ.

Таким образом, если сторона AB равна 5 см, сторона BC равна 4 см, а площадь треугольника равна 5√3 см², то длина третьей стороны треугольника AC будет равна \(\sqrt{25 + 16 - 20\sqrt{3}}\) см.