Какое сечение трехгранного параллелепипеда можно получить с помощью плоскости, проходящей через серединные точки двух

Ser_4251

48

При рассмотрении задачи о сечении трехгранного параллелепипеда, который имеет длину ребра равную 7 см, проходящего через серединные точки двух противоположных ребер, возникает много интересных вопросов о форме и свойствах полученного многоугольника.

Чтобы понять, какое сечение получится, представим параллелепипед на плоскости и проведем плоскость, проходящую через серединные точки двух противоположных ребер.

Давайте рассмотрим утверждения о сторонах получаемого многоугольника:

1) Все стороны имеют одинаковую длину.

Это утверждение неправильно. В результате сечения получится неравнобедренный многоугольник, в котором разные стороны будут иметь разную длину.

2) Длина каждой стороны равна половине длины ребра параллелепипеда.

Это утверждение также неправильно. Длина каждой стороны сечения будет составлять половину длины диагонали грани параллелепипеда.

3) Длина каждой стороны равна половине длины диагонали грани параллелепипеда.

Это утверждение правильно. Длина каждой стороны сечения будет равна половине диагонали грани параллелепипеда. Для нахождения диагонали грани параллелепипеда, можно воспользоваться теоремой Пифагора. По теореме Пифагора диагональ грани параллелепипеда будет равна \(\sqrt{(7^2 + 7^2)} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\) см.

Таким образом, длина каждой стороны сечения будет равна \( \frac{7\sqrt{2}}{2} \) см.

4) Каждая пара противоположных сторон имеет одинаковую длину.

Это утверждение правильно. В получившемся многоугольнике каждая пара противоположных сторон будет иметь одинаковую длину, так как они образуются пересечением параллельных прямых ребер параллелепипеда.

Теперь перейдем к характеристикам формы полученного многоугольника:

- Многоугольник будет неравнобедренным, так как его стороны имеют разную длину.
- Сечение будет выпуклым, так как параллепипед является выпуклым многогранником, и сечение его грани будет конечным выпуклым многоугольником.
- Количество сторон полученного многоугольника будет равно количеству сторон грани параллелепипеда, то есть 4.

Теперь вычислим периметр полученного многоугольника. Периметр многоугольника равен произведению количества сторон на длину каждой стороны.

Количество сторон равно 4, а длина каждой стороны сечения равна \( \frac{7\sqrt{2}}{2} \) см. Поэтому периметр можно вычислить следующим образом:

\[
\text{Периметр} = 4 \times \frac{7\sqrt{2}}{2} = 14\sqrt{2} \text{ см}
\]

Таким образом, полученный многоугольник будет иметь периметр равный \( 14\sqrt{2} \) см.