Если векторы `veca` и `vecb` не являются нулевыми и известно, что их разность в модуле равна их сумме в модуле

Sumasshedshiy_Rycar

63

Для доказательства перпендикулярности векторов `veca` и `vecb` воспользуемся свойствами векторов и математическими операциями.

Дано, что модуль разности векторов `veca` и `vecb` равен модулю их суммы:
\(|\veca - \vecb| = |\veca + \vecb|\)

Воспользуемся определением модуля вектора:
\(\sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + ... + (x_n-y_n)^2} = \sqrt{(x_1+y_1)^2 + (x_2+y_2)^2 + ... + (x_n+y_n)^2}\)

Раскроем скобки в обоих выражениях:
\((x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + ... + (x_n-y_n)^2 = (x_1+y_1)^2 + (x_2+y_2)^2 + ... + (x_n+y_n)^2\)

Раскроем квадраты:
\[x_1^2 - 2x_1y_1 + y_1^2 + x_2^2 - 2x_2y_2 + y_2^2 + ... + x_n^2 - 2x_ny_n + y_n^2 = x_1^2 + 2x_1y_1 + y_1^2 + x_2^2 + 2x_2y_2 + y_2^2 + ... + x_n^2 + 2x_ny_n + y_n^2\]

Упростим выражение, сократив одинаковые слагаемые:
\[- 2x_1y_1 - 2x_2y_2 - ... - 2x_ny_n = 2x_1y_1 + 2x_2y_2 + ... + 2x_ny_n\]

Теперь сгруппируем слагаемые справа и слева от равенства:
\[-2(x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n) = 2(x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n)\]

Разделим обе части на -2:
\[x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n = -(x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n)\]

Заметим, что левая и правая части равенства имеют противоположный знак. Это возможно только в случае, когда каждое слагаемое равно нулю:
\[x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n = 0\]

Итак, мы получили, что скалярное произведение координат векторов равно нулю:
\(\veca \cdot \vecb = 0\)

Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они являются перпендикулярными. Таким образом, мы доказали, что векторы `veca` и `vecb` перпендикулярны друг другу.