Если внутри окружности провести хорду, которая делится точкой d на отрезки длиной 3 см и 4 см, то какое будет

Oksana

28

Для решения данной задачи, воспользуемся теоремой о перпендикулярности хорды и радиуса, проходящей через точку пересечения хорды:

Расстояние от точки, где проведена хорда, до центра окружности с радиусом $r$, равно половине произведения отрезков, на которые эта хорда делит радиус.

Дано, что хорда делится точкой $d$ на отрезки длиной 3 см и 4 см. Пусть $x$ - расстояние от точки $d$ до центра окружности.

Тогда получаем два уравнения:

$$\frac{r^2-x^2}{r}=3$$
$$\frac{r^2-x^2}{r}=4$$

Решим эти уравнения по очереди.

Из первого уравнения получаем:

$$r^2-x^2=3r$$

Так как у нас есть заданный радиус окружности, обозначим его $r_0$. Подставим этот радиус в уравнение:

$$r_0^2-x^2=3r_0$$

Разрешим уравнение относительно $x$:

$$r_0^2-3r_0-x^2=0$$

Получаем квадратное уравнение. Решим его используя квадратное уравнение:

$$x^2=r_0^2-3r_0$$

$$x=\sqrt{r_0^2-3r_0}$$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$r^2-x^2=4r$$

Подставляя значение $x$, полученное ранее:

$$r^2-(r_0^2-3r_0)=4r$$

$$r^2-r_0^2+3r_0=4r$$

$$r^2-4r+r_0^2-3r_0=0$$

Мы знаем значение радиуса окружности $r_0$, поэтому вместо $r_0^2$ и $3r_0$ подставим известные значения:

$$r^2-4r+r_0^2-3r_0=0$$

Так как у нас нет конкретного значения радиуса окружности, решим это уравнение в общем виде относительно $r$, используя квадратное уравнение или формулу дискриминанта:

$$r^2-4r+(r_0^2-3r_0)=0$$

$$\mathrm{\Delta }=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (r_0^2-3r_0)$$

$$\mathrm{\Delta }=16-4(r_0^2-3r_0)$$

$$\mathrm{\Delta }=16-4r_0^2+12r_0$$

Теперь, если дискриминант $\mathrm{\Delta }\ge 0$, у нас есть два возможных значения для радиуса $r$, а если $\mathrm{\Delta }<0$, у уравнения нет решений.

upd