Если внутри окружности провести хорду, которая делится точкой d на отрезки длиной 3 см и 4 см, то какое будет

Oksana

28

Для решения данной задачи, воспользуемся теоремой о перпендикулярности хорды и радиуса, проходящей через точку пересечения хорды:

Расстояние от точки, где проведена хорда, до центра окружности с радиусом \(r\), равно половине произведения отрезков, на которые эта хорда делит радиус.

Дано, что хорда делится точкой \(d\) на отрезки длиной 3 см и 4 см. Пусть \(x\) - расстояние от точки \(d\) до центра окружности.

Тогда получаем два уравнения:

\[\frac{{r^2 - x^2}}{{r}} = 3\]
\[\frac{{r^2 - x^2}}{{r}} = 4\]

Решим эти уравнения по очереди.

Из первого уравнения получаем:

\[r^2 - x^2 = 3r\]

Так как у нас есть заданный радиус окружности, обозначим его \(r_0\). Подставим этот радиус в уравнение:

\[r_0^2 - x^2 = 3r_0\]

Разрешим уравнение относительно \(x\):

\[r_0^2 - 3r_0 - x^2 = 0\]

Получаем квадратное уравнение. Решим его используя квадратное уравнение:

\[x^2 = r_0^2 - 3r_0\]

\[x = \sqrt{r_0^2 - 3r_0}\]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[r^2 - x^2 = 4r\]

Подставляя значение \(x\), полученное ранее:

\[r^2 - (r_0^2 - 3r_0) = 4r\]

\[r^2 - r_0^2 + 3r_0 = 4r\]

\[r^2 - 4r + r_0^2 - 3r_0 = 0\]

Мы знаем значение радиуса окружности \(r_0\), поэтому вместо \(r_0^2\) и \(3r_0\) подставим известные значения:

\[r^2 - 4r + r_0^2 - 3r_0 = 0\]

Так как у нас нет конкретного значения радиуса окружности, решим это уравнение в общем виде относительно \(r\), используя квадратное уравнение или формулу дискриминанта:

\[r^2 - 4r + (r_0^2 - 3r_0) = 0\]

\[\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (r_0^2 - 3r_0)\]

\[\Delta = 16 - 4(r_0^2 - 3r_0)\]

\[\Delta = 16 - 4r_0^2 + 12r_0\]

Теперь, если дискриминант \(\Delta \geq 0\), у нас есть два возможных значения для радиуса \(r\), а если \(\Delta < 0\), у уравнения нет решений.

upd