Если вравнобедренном тр-ке угол при основании равен 75 градусам, какова длина боковой стороны этого тр-ка, если

Panda

48

Хорошо, решим задачу.

Площадь равнобедренного треугольника можно выразить через длину его основания (проще говоря, боковой стороны) и высоту, опущенную на это основание. Зная, что угол при основании равен 75 градусам, мы можем разделить равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника, используя основание треугольника в качестве гипотенузы и проведенную высоту в качестве одного из катетов.

После этого, мы можем использовать тригонометрический закон синусов, чтобы найти длину основания треугольника. Тригонометрический закон синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла является постоянным. В данном случае, мы знаем угол при основании равен 75 градусам, поэтому можем записать:

\[\frac{{a}}{{\sin(75^\circ)}} = \frac{{c}}{{\sin(45^\circ)}}\]

где \(a\) - длина основания (боковой стороны треугольника), а \(c\) - длина гипотенузы (ограниченной основанием и проведенной высотой треугольника).

Мы знаем, что синус 75 градусов равен \(\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}\), а синус 45 градусов равен \(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\), поэтому можем записать:

\[\frac{{a}}{{\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}}} = \frac{{c}}{{\frac{{\sqrt{28}}}{4}}}\]

Упростив это уравнение, мы получим:

\[a = \frac{{c \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{{\sqrt{28}}}\]

Далее, чтобы найти длину основания треугольника, нам нужно найти длину гипотенузы \(c\). Для этого мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, мы имеем прямоугольный треугольник с катетами \(x\) (равные длине основания) и \(h\) (высотой треугольника):

\[c^2 = x^2 + h^2\]

Теперь нам нужно найти высоту треугольника \(h\). Мы знаем, что равнобедренный треугольник имеет два равных угла, в нашем случае это 75 градусов. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем вычислить третий угол, которому равен 180 минус два раза угол при основании, равный 30 градусам. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник с углом 30 градусов и гипотенузой \(h\), поэтому мы можем записать:

\[\sin(30^\circ) = \frac{{h}}{{c}}\]

Синус 30 градусов равен \(\frac{{1}}{{2}}\), поэтому можем решить это уравнение:

\[\frac{{1}}{{2}} = \frac{{h}}{{c}}\]

или

\[h = \frac{{c}}{{2}}\]

Теперь мы можем подставить это значение \(h\) в уравнение Пифагора:

\[c^2 = x^2 + \left(\frac{{c}}{{2}}\right)^2\]

Решив это уравнение, мы найдем длину гипотенузы \(c\). Затем, мы можем использовать найденное значение \(c\), чтобы найти длину основания \(a\) с помощью уравнения:

\[a = \frac{{c \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}}{{\sqrt{28}}}\]

Таким образом, мы найдем длину боковой стороны данного треугольника.

Надеюсь, это понятное и полное объяснение поможет вам понять решение задачи. Если возникнут какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.